Математическая энциклопедия - матриц алгебра

матричная алгебра,подалгебра полной матричной алгебры Fn всех -матриц над полем F. Операции в Fn определяются следующим образом:

для

Алгебра Fn изоморфна алгебре всех эндоморфизмов n-мерного линейного пространства над F. Размерность Fn ' над Fравна n². Любая ассоциативная алгебра с единицей, размерность к-рой над Fне больше п, изоморфна нек-рой подалгебре в Fn. Ассоциативная алгебра без единицы, размерности меньше пнад F, также изоморфно вкладывается в F п. В силу теоремы Веддерберна алгебра Fn проста, т. е. имеет лишь тривиальные двусторонние идеалы. Центр алгебры Fn состоит из всех скалярных -матриц над F. Группа обратимых элементов алгебры Fn есть полная линейная группа Каждый автоморфизм hалгебры Fn является внутренним:

Неприводимая М. а. проста. Если М. а. Аабсолютно неприводима (напр., когда поле Fалгебраически замкнуто), то A = Fn при n>1 (теорема Бёрнсайда). М. а. полупроста тогда и только тогда, когда она вполне приводима.

С точностью до сопряженности в Fn имеется единственная максимальная нильпотентная подалгебра алгебра всех верхних треугольных матриц с нулевой диагональю. В алгебре F п тогда и только тогда имеется коммутативная подалгебра размерности r, когда

(теорема Шура). Для поля комплексных чисел С множество классов сопряженных максимальных коммутативных подалгебр алгебры при конечно, а при n>6 бесконечно.

В алгебре Fn выполняется стандартное тождество степени 2n:

где S2nсимметрич. группа, и никакое тождество меньшей степени не выполняется.

Лит.:[l] Вейль Г., Классические группы, их инварианты и лредставленип, пер. с англ., М., 1947; [2] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М.. 1961; [3] Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972; [4] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [5] Супруненко Д. А., Тышкевич Р. И., Перестановочные матрицы, Минск, 1966.

Д. Л. Супруненко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985