Математическая энциклопедия - матричное дифференциальное уравнение

уравнение, неизвестной в к-ром является функциональная матрица, входящая в уравнение вместе со своей производной.

Пусть рассматривается линейное М. д. у. вида

где есть-матрица-функция с локально интегрируемыми по Лебегу элементами, и пусть X(t)абсолютно непрерывное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию X(to) I, I единичная матрица. Тогда вектор-функция является решением линейной системы

удовлетворяющим условию . Обратно, если и решение системы (2), удовлетворяющее условию то функциональная матрица X(t), столбцами к-рой служат решения , является решением М. д. у. (1). Если при этом векторы линейно независимы, то

при всех

Уравнение (1) является частным случаем следующего М. д. у. (возникающего в теории устойчивости)

Решение М. д. у. (3) с начальным условием дается равенством

где U(t, s)решение М. д. у. (1) с условием X(s, s)=I, a V(t, s)решение М. д. у. X' = B(t)Xс условием X(s, s)=I.

В различных прикладных задачах (теории стабилизации, оптимального управления, фильтрации управляемых систем и др.) большую роль играет т. н. матричное дифференциальное уравнение Риккати

Напр., если матричное уравнение Риккати

где означает транспонирование, имеет при ограниченное на прямой решение и для всех , всех и нек-рого выполнено неравенство , то любое решение управляемой системы замкнутой обратной связью удовлетворяет неравенству

где евклидова норма в , а постоянная Мне зависит от s.

Лит.:[1] Лаппо-Данилевский И. А., Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1957; [2] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970; [3] Аткинсон Ф. В., Дискретные и непрерывные граничные задачи, пер. с англ., М., 1968; [4] Reid W. Т., Riccati differential equations, N. Y.-L., 1972 (Math. Sci. and Eng., v. 88); [5] Захар-Иткин M. X., "Успехи матем. наук", 1973, т. 28, в. 3, с. 83120.

Е. Л. Тонков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985