Математическая энциклопедия - p-делимая группа

группа Барсотти Тейта,обобщение понятия коммутативной формальной группы. Гомоморфизм, индуцируемый умножением на простое число р, является эпиморфизмом, для р-Д. г.

Пусть Sсхема, рпростое число; р-делимой. группой высоты hназ. индуктивная система G=(Gn, in )коммутативных конечных групповых схем; Gn порядка p^nh такая, что последовательности

являются точными (здесь jn гомоморфизм умножения на р ⁿ). Морфизм р-Д. г. есть морфизм индуктивных систем. р-Д. г. наз. связной (соответственно этальной), если все Gnсвязные (этальные) групповые схемы. Связная р-Д. г. над полем характеристики р есть коммутативная формальная группа (рассматриваемая как индуктивный предел ядер jn умножения на р ⁿ), для к-рой умножение на р является изогенией [6]. Этот факт обобщается на случай произвольной базисной схемы S, на к-рой гомоморфизм, индуцируемый умножением на р, локально нильпотентен [4]. Категория этальных р-Д. г. эквивалентна категории р-адических представлений фундаментальной группы схемы S. Каждая р- Д . г. Gнад артиновой схемой Sсодержит максимальную связную подгруппу G⁰, называемую связной компонентой единицы, фактор по к-рой является этальной р-Д. г. Размерность алгебры Ли для любой (G⁰)n наз. размерностью р-Д. г. G.

Пусть Аабелево многообразие над полем кразмерности d, А (п)ядро гомоморфизма умножения на р ⁿ в А, in:.естественное вложение. Индуктивная система является р-Д. г. высоты 2d. Ее связная компонента единицы совпадает с формальным пополнением Авдоль единичного сечения, а высота представляет важный инвариант абелевой схемы.

Пусть G=(Gn, in) р- Д-г. высоты h, -двойственные по Картье конечные групповые схемы, in:отображение, двойственное к отображению умножения на р:. Система

является р-Д. г. высоты hи наз. двойственной к р-Д. г. G. Сумма размерностей равна h.

Как и для формальных групп, для р-Д. г. вводится понятие модуля Дьедонне, играющее важную роль в теории деформации р-Д. г. (см. [2], [3]. [4]).

В случае, когда Sесть спектр разнохарактеристического кольца дискретного нормирования Ас полем вычетов характеристики р, структура р-Д. г. тесно связана со структурой пополнения алгебраич. замыкания поля частных Ккольца А, рассматриваемого как модуль над группой Галуа поля К(см. [6]).

Лит.:[1] Barsotti I., в кн.: Coloque sur la theorie des groupes algebriques tenu a Bruxelles, P., 1962, p. 77-85; 12J Grothendieck А., в кн.: Actes du Congres international des mathematiciens. 1970, t. 1, P., 1971, p. 431-36; [3] Mazur B., Messing W., Universal Extensions and one Dimensional Crystalline Cohomology, В., 1974; [4] Messing W., The Crystals Associated to Barsotti Tate Groups: with Applications to Abelian Schemas, В., 1972; [5] Serre J.-P., "Sem. Bourbaki", expose 318, 1966-67, N. Y., 1968; [6] Тейт Дш., "Математика", 1969, т. 13, № 2, с. 3 25.

П. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985