Математическая энциклопедия - инвариант

отображение j рассматриваемой совокупности М математич. объектов, снабженной фиксированным отношением эквивалентности р, в другую совокупность Nматематич. объектов, постоянное на классах эквивалентности Мпо r(точнее: И. отношения эквивалентности р на М). Если Xобъект из М, то весьма часто говорят, что j(М).И. объекта X. Концепция И. является одной из важнейших в математике, поскольку изучение И. непосредственно связано с задачами классификации объектов того или иного типа. По существу, целью всякой математич. классификации является построение нек-рой полной системы И. (по' возможности, наиболее простой), то есть такой системы, к-рая разделяет любые два неэквивалентных объекта из рассматриваемой совокупности.

Простейшим примером И. могут служить так наз. И. действительных плоских линий второго порядка. А именно, пусть Ммножество всех таких линий, r отношение эквивалентности на М, определенное правилом: эквивалентна тогда и только тогда, когда Г' получается из Г движением (т. е. изометрией) плоскости. Если Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0уравнение линии в какой-либо декартовой системе координат, то числа s(Г)=А+С,

и

не зависят от выбора системы координат (хотя само уравнение линии Г зависит). Если две линии эквивалентны, то s(Г),=s(Г'), d(Г)=d(Г') и D(Г)=D(Г'). Иначе говоря, отображения s, d и D множества Мв множество Nвсех действительных чисел являются И. отношения эквивалентности r эти отображения и называют И. действительных плоских линий второго порядка. Значения этих И. на конкретной линии позволяют определить тип этой линии (эллипс, гипербола, парабола, пара прямых, мнимая кривая).

Другой классич. пример двойное отношение упорядоченного набора четырех точек, лежащих на одной прямой в действительном проективном пространстве. Двойное отношение не изменится, если подвергнуть эти точки проективному преобразованию всего пространства. В этом примере: Мэто множество упорядоченных четверок точек проективного пространства, лежащих на одной прямой; отношение эквивалентности р на М - определяется по правилу: наборы Fи эквивалентны тогда и только тогда, когда Fпереводится в F' проективным преобразованием пространства; Nмножество действительных чисел. Взятие двойного отношения определяет отображение Мв N, являющееся И. отношения р; именно в этом смысле говорят, что двойное отношение И. четырех точек (относительно проективной группы).

Сопоставление квадратичной форме от ппеременных ее ранга также доставляет пример И.: ранг не меняется при замене формы на эквивалентную (коротко: ранг есть И. квадратичной формы). Более того, если формы рассматриваются над полем комплексных чисел, то ранг составляет полную систему И. форм от ппеременных две формы эквивалентны тогда и только тогда, когда их ранги равны. Если же рассматривать формы над полем действительных чисел, то появляется еще один И.сигнатура формы; ранг и сигнатура соcтавляют полную систему И, В этих примерах Ммножество квадратичных форм от ппеременных, r отношение эквивалентности, определенное невырожденными линейными преобразованиями переменных, Nмножество целых чисел.

Общая черта, объединяющая эти (и многие другие) примеры, состоит в том, что отношение эквивалентности р определяется с помощью нек-рой группы Gпреобразований множества М(т. е. X и р-эквивалентны тогда и только тогда, когда Y-g(X)для нек-рого ); И., возникающие в таких случаях, наз. И. группы G. В первом примере это преобразования М, индуцированные группой изометрий плоскости, во втором проективной группой, в третьем полной линейной группой невырожденных преобразований переменных. Эти примеры иллюстрируют общую концепцию, выдвинутую Ф. Клейном (F. Klein) (так наз. эрлангенская программа), согласно к-рой всякая группа преобразований может служить группой "преобразований систем координат" (автоморфизмов) в некоторой геометрии; величины, определяемые объектами этой геометрии и не меняющиеся при "смене координат" (инварианты), описывают внутренние свойства рассматриваемой геометрии и дают "структурную" классификацию ее теорем. Так, напр., задача проективной геометрии нахождение И. (и соотношений между ними) для проективной группы, евклидовой геометрии для группы движений (изометрий) евклидова пространства и т. д. На этом пути возникла классическая инвариантов теория, в к-рой рассматриваются лишь И. специального вида (полиномиальные или рациональные И. для групп линейных преобразований или, шире, числовые функции, постоянные на орбитах нек-рой группы).