Математическая энциклопедия - инволютивное распределение

геометрическая интерпретация вполне интегрируемой дифференциальной системы на n-мерном дифференцируемом многообразии М ⁿ класса С ^к, р-м ерным распределением (или дифференциальной системой размерности р)класса С,1r<k, на М ^п наз. функция, относящая каждой точке р-мерное линейное подпространство D(х)касательного пространства Т х( М ^п), так что химеет окрестность U с р такими С-векторными полями X1, ... . .., Х р на ней, что векторы Х 1 (у), . .., Х р (у)образуют базис пространства D(у)для каждой точки Распределение Dназ. инволютивным, если для всех точек

Это же условие формулируется и в терминах дифференциальных форм. Распределение Dхарактеризуется тем, что

где w^p+1, . . ., wⁿ суть 1-формы класса С ^r, линейно независимые в каждой точке т. е. Dлокально эквивалентно системе дифференциальных уравнений w^a=0. Тогда Dявляется И. р., если на Uсуществуют 1-формы такие, что

т. е. внешние дифференциалы dw^a принадлежат идеалу, порожденному формами w^b.

Распределение Dкласса С ^r на М ^п инволютивно Тогда и только тогда, когда оно (как дифференциальная система) есть интегрируемая система (теорема Фробениуса).

Лит.:[1] Шевалле К., Теория групп Ли, т. 1, пер. с англ., М., 1948; [2] Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1971.

Ю. Г. Лумисте.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985