Математическая энциклопедия - интерпретация

задание значения (смысла) математич. выражений (символов, формул и т. д.). В математике такими значениями служат математич. объекты (множества, операции, выражения и т. д.). Сами эти значения также наз. И. соответствующих выражений.

Примеры. Значением (или И.) символа Х может быть операция умножения действительных чисел, операция сложения целых чисел и т. д. Пусть в качестве И. символа Х выбрана первая из этих операций. Если символы x и у понимаются как действительные переменные (т. е. переменные, областью изменения к-рых является множество всех действительных чисел), то значением выражения хХуявляется отображение, переводящее всякую пару действительных чисел в их произведение; если значениями символов х и у являются соответственно числа 6 и 2,5, то значением выражения хХуявляется число 15. Значением (или И.) высказывания в языке Плоской геометрии Лобачевского при интерпретации Пуанкаре может служить соответствующее высказывание в языке плоской евклидовой геометрии.

Важнейшим видом И. являются теоретико-множественные И. выражений логич. языков, когда речь идет об одновременной И. всех выражений языка, то говорят об И. языка. Теоретико-множественная И. логич. языка включает задание значений констант предметных, функциональных, предикатных и констант более высоких ступеней (констант для предикатов от предикатов и т. д.), а также задание областей изменения переменных предметных, функциональных и т. д. В многосортных И. различные предметные переменные могут иметь различные области изменения, то же касается функциональных и т. д. переменных. Наиболее употребительными, однако, являются И., при к-рых все предметные переменные, так же как и функциональные переменные с одинаковым числом аргументов и т. д., имеют одинаковые области изменения. Если областью изменения предметных переменных (иногда называемой областью, или носителем, И.) служит множество D0, то областью изменения п-местных функциональных переменных служит нек-рое множество Dnn-местных операций на множестве D0. В качестве множества Dn часто выбирается множество всех n-местных операций на D0, в таком случае упоминание об области изменения функциональных переменных обычно опускается. Значениями предметных констант служат элементы из D0, функциональных констант элементы из D1, D2,... .

При теоретико-множественной И. логич. языка под И. терма (т. е. под значением терма при данной И.) понимается отображение, к-рое каждому набору значений переменных рассматриваемого языка (или, при несколько ином определении, набору значений переменных, входящих в терм) по определенному правилу сопоставляет элемент области И. Это отображение обычно задается индукцией по построению термов.

Для получения И. формул языка необходимо, кроме перечисленных выше компонентИ., задать нек-рое непустое множество А, называемое множеством логических значений. И. n-местных предикатных констант являются отображениями из в А;в частности, И. n-местных предикатных констант это элементы А. Если в языке имеются нульместные, одноместные и т. д. предикатные переменные, то их областями изменения служат, соответственно, множество А, нек-рое подмножество множества A^D0, содержащее И. всех одноместных предикатных констант и т. д. Интерпретация формулы определяется аналогично И. терма как отображение, сопоставляющее всякому набору значений предметных, функциональных и предикатных переменных языка элемент множества А. Важным видом теоретико-множественных И. являются алгебраич. И., при к-рых в качестве значений (И.) логич. связок языка выбираются операции на множестве А, в качестве значений кванторов отображения из множества всех подмножеств Ав А (обобщенные операции на А), и И. формулы определяется индукцией по построению. Среди других теоретико-множественных И. важнейшими являются Крипке модели.

Булевозначные алгебраические И. характеризуются тем, что множество Аявляется полной булевой алгеброй, а значениями связок и кванторов являются: для конъюнкции пересечение, для квантора существования взятие точной верхней грани и т. д. Особо важную роль играют классические И., к-рые можно определить как булевозначные И. с двухэлементной булевой алгеброй А.

Понятие истинности формулы в данной И. определяется с помощью выделения в Анек-рых элементов. Напр., при классической И. единственным выделенным элементом является единица булевой алгебры (обозначаемая также "истина"). Формула наз. истинной при данной И., если ее И. принимает только выделенные значения. Моделью (или правильной II., или просто И.) системы формул нек-рого языка наз. И. языка, при к-рой все формулы системы истинны.

Термин стандартная И. употребляется, когда среди всевозможных значений (И.) нек-рого выражения имеется одно общепринятое. Напр., стандартной И. символа = в классических И. является совпадение элементов, стандартными И. символов + и Х языка арифметики являются сложение и умножение натуральных чисел. Соответственно вводится понятие стандартной И. языка и стандартной модели. В частности, классическую И. языка арифметики первого порядка с предикатной константой = и функциональными константами + и ., интерпретируемыми, как указано выше, наз. стандартной.

Кроме теоретико-множественных И. логич. языков используются и другие. Напр., И., при к-рых выражения нек-рого логич. языка интерпретируются выражениями другого логич. языка, применяются при доказательствах разрешимости, неразрешимости и относительной непротиворечивости логич. теорий. См. также Конструктивная логика.

Лит.:[1] Расева Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972; [2] Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960; [3] Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. с англ., 2 изд., М., 1976.

А. Л. Семенов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985