Математическая энциклопедия - интерполирование операторов

получение из известных свойств оператора в двух или нескольких пространствах выводов о свойствах этого оператора в нек-рых в определенном смысле промежуточных пространствах. Банаховой парой A, В наз. два банаховых пространства, алгебраически и непрерывно вложенные в отделимое линейное топологич. пространство На пересечении AЗ B вводится норма

на арифметич. сумме А+Внорма

Пространства и А+В банаховы. Банахово пространство Еназ. промежуточным для пары А, В, если

Линейное отображение Т, действующее из A+B в C+D, наз. ограниченным оператором из пары А, В в пару С, D, если его сужение на А(соответственно В)является ограниченным оператором из А(соответственно В) в С (соответственно D). Тройка пространств {А, В, Е} наз. интерполяционнойотносительно тройки {С, D, F},. пространство Е(соответственно F)промежуточное для пары А, В (соответственно С, D), если всякий ограниченный оператор из пары А, В в пару С, D отображает Ев F. Если А = С, B=D и E=F, то пространство Еназ. интерполяционным между Аи В. Для интерполяционных троек существует константа с такая, что

Первая интерполяционная теорема получена М. Риссом (М. Riesz, 1926): тройка пространств {Lp0 , Lp1, Lp )является интерполяционной относительно тройки {Lq0,Lq1, Lq}, если р 1 , q0, и при нек-ром qО(0, 1)

Мера, по к-рой строятся перечисленные пространства, может быть своей для каждой тройки. Аналог этой теоремы может не быть справедливым для других классич. семейств пространств; напр., пространство С ¹(0, 1) не является интерполяционным между С (0, 1) и С ²(0, 1).

Интерполяционным функтором Fназ. функтор, ставящий в соответствие каждой банаховой паре А, В промежуточное пространство F(A, В), причем для любых двух банаховых пар А, В и С, D тройки {А, B, F(A, В)}и {С, D, F(C, D ))являются друг относительно друга интерполяционными. Имеется ряд методов построения интерполяционных функторов. Наибольшее число приложений нашли два из них.

К-м етод Петре. Для банаховой пары А, Встроится функционал

эквивалентный при каждом tнорме в A+В. Банахово пространство Gизмеримых на полуоси функций наз. идеальным пространством, если из того, что почти всюду на и вытекает и . Рассматриваются все элементы хиз А+В, для к-рых Они образуют банахово пространство относительно нормы Пространство будет ненулевым и промежуточным для А, Вв том и только в том случае, когда функция min {t, 1} принадлежит G. В этом случае функтор будет интерполяционным. Для нек-рых банаховых пар функционал K(t, х )вычисляется, и это позволяет эффективно строить интерполяционные пространства. Для пары L1 и где х* (т)равноизмеримая с функцией хневозрастающая непрерывная справа функция на Для пары С и С ¹ где со (t, x)модуль непрерывности функции х, а знак означает переход к наименьшей выпуклой мажоранте функции на Для пары ( Соболева пространство)

где

За пространство Gчасто принимается пространство с нормой

Соответствующий функтор обозначается р.

Важную роль в теории уравнений с частными производными играют пространства Бесова где m=ql. Ряд классич.неравенств анализа уточняется в терминах пространств Лоренца

Комплексный метод КальдеронаЛионса. Для банаховой пары А, Вчерез Ф (А, В)обозначается пространство, состоящее из всех функций cp(z), определенных в полосе П :комплексной плоскости, со значениями в пространстве А+В, обладающих свойствами: 1) j(z) непрерывна и ограничена по норме А+В в П, 2) j(z) аналитична относительно нормы в А+В внутри П, 3) j(it) непрерывна и ограничена по норме А,4) j(1 + it) непрерывна и ограничена по норме В. Пространство [ А, В]a, определяется как совокупность всех элементов представимых в виде х=j(a) при В нем вводится норма