Математическая энциклопедия - интегрирование подстановкой

замена переменного в интеграле,один из способов вычисления интеграла, состоящий в преобразовании интеграла посредством перехода к другой переменной интегрирования. Для определенного интеграла от функции одной переменной формула имеет вид

и справедлива при следующих предположениях: f(х)непрерывна на отрезке [ а, b], к-рый является множеством значений нек-рой функции x=j(t), определенной и непрерывной вместе со своей производной j'(t)на отрезке и j(a)=а, j(b) = b.

Аналогом формулы (1) для неопределенного интеграла является соотношение

Если функция х=j(t) определена и дифференцируема на нек-ром промежутке {t}, а функция f(x)имеет первообразную на множестве всех значений функции x=j(t), то и функция f[j(t)]j' (t)имеет первообразную на указанном промежутке, причем имеет место равенство (2). В случае кратного интеграла Римана по ограниченной замкнутой го-мерной кубируемой области Gаналогом формулы (1) является соотношение

справедливое при следующих предположениях: функция f(x)=f(x1, x2,..., х т )непрерывна в области G; преобразование х i=ji(t1, t2, ..., tm),i=l, 2,..., т, взаимно однозначно переводит область G' в пространстве переменных t1, t2,. . ., tm, в область Gв пространстве переменных х 1, х 2,. .., х т функции х i=ji(t1, t2, ..., tm )имеют в G' непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля якобиан

Формула (3) справедлива и при более общих предположениях (не обязательно требовать непрерывности f(х)в области G, а можно допустить обращение в нуль якобиана на множестве точек m-мерной меры нуль).

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 1-2, М., 1971-73; [2] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1-2, М., 1970; [3] Никольский С. М., Курс математического анализа, М., 1973.

В. А. Ильин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985