Математическая энциклопедия - интерполяционный процесс

процесс получения последовательности интерполирующих функций {fn(z)} при неограниченном возрастании числа n условий интерполирования. Если интерполирующие функции fn(z)представлены в виде частных сумм некоторого функционального ряда, то последний иногда наз.

интерполяционным рядом. Целью построения И. п. чаще всего является, по крайней мере в простейших первоначальных задачах интерполирования, приближение в каком-то смысле посредством интерполирующих функций fn(z)исходной функции f (z), о к-рой или имеется неполная информация или форма к-рой слишком сложна для непосредственного использования.

Довольно общая ситуация, связанная с построением И. п., описывается следующим образом. Пусть (a/ft), j=0, 1, ...бесконечная треугольная таблица произвольно заданных комплексных чисел

наз. узлами интерполяции. Пусть, наряду с таблицей (1), имеется таблица аналогичного вида (wjk), j=0, 1, ..., также составленная из произвольно заданных комплексных чисел wjk.

Если в п-и строке а nk, k = 0,1, . .., п, таблицы узлов (1) нет совпадающих чисел, или, как еще говорят, вся эта строка состоит из простых узлов, то, пользуясь, напр., Лагранжа интерполяционной формулой, строится (единственный) алгебраический интерполяционный многочлен р п(z) степени ве выше п, удовлетворяющий простым условиям интерполяции

Если же точка а п0 является кратным узлом кратности v0>l в п-в. строке, т. е. встречается в этой строке v0 раз: an0=ank1=...= ankv0_1, то соответствующие условия кратного интерполирования в узле а n0 имеют вид

В общем случае при наличии кратных узлов (единственный) алгебраический интерполяционный многочлен pn(z)степени не выше пстроится по этим условиям, напр., по Эрмита интерполяционной формуле. В качестве примера системы узлов (1) можно привести систему j+1, j=0, 1, . . ., равноотстоящих узлов а jk=e^2pik/(j+1) на единичной окружности, применяемую в случае так наз. интерполяции в корнях из единицы (см. [5]).

В результате осуществляемого таким путем И. п. получается последовательность интерполяционных многочленов {pn(z)}, определяемая таблицами (ajk) и (wjk). Основными вопросами, здесь возникающими, являются: определить в зависимости от (ajk) и (wjk )множество EМ C точек сходимости последовательности {pn(z)}, в к-рых существует предел определить характер предельной функции g(z); определить множество FМ E, на к-ром сходимость pn(z)q(z). равномерная; и т. д.

В теории функций комплексного переменного наиболее изучен случай, когда таблица (wjk) строится по . значениям регулярной аналитич. функции f(z) и ее производных в узлах интерполяции так, что (применительно к узлу а п0 кратности ср. (3))

В этом случае интерполяционный многочлен р п(r)можно записать по формуле Эрмита в виде интеграла по контуру Г, охватывающему узлы ank, k = 0, 1, ..., п, на к-ром и внутри к-рого f(z)регулярна:

Из формулы (4) легко получается и интегральное представление остаточного члена интерполяции Rn(z)=f(z)-pn(z). Вообще говоря, последовательность {pn(z)}, построенная по f(z), может расходиться. Если же она сходится, то предельная функция q(z)может не совпадать с f(z). Основным вопросом является изучение сходимости {pn(z)}к f(z) и нахождение таких систем узлов (ajk), для к-рых сходимость в каком-то смысле оптимальная. Пусть, напр., функция f(z) регулярна на континууме содержащем не менее двух точек, дополнение к-рого до расширенной плоскости есть односвязная область, содержащая бесконечно удаленную точку. Пусть узлы (a/ft) принадлежат К. Тогда для того, чтобы И. п. {pn(z)}равномерно сходился на Кк f(z), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

где Mn=sup {|wn(z)|; }, с емкость множества К (см. [4]).

Классический вариант И. п. получается, когда узлы ajk=ak. j=0, 1, .. ., составляют последовательность {ak}, из к-рой на n-м шаге для получения многочлена р n(z) используются первые n+1 узлов а 0, а 1, ..., а п. В этом случае для регулярной функции f(z)многочлены р n(z) суть частные суммы интерполяционного ряда Ньютона