Математическая энциклопедия - интегрирование по частям

один из способов вычисления интеграла, состоящий в представлении интеграла от выражения вида u(x)dv(x)через интеграл от v(x)du{x). Для определенного интеграла формула И. по ч. имеет вид

и справедлива в предположении, что функции и(х)и v(x)и их производные и(х)и v' (х)непрерывны на

Аналогом этой формулы для неопределенного интеграла является соотношение

Аналогом формулы (1) для кратных интегралов является соотношение

где Dобласть в пространстве R^m с гладкой (или хотя бы кусочно гладкой) границей Г, х=( х 1, х 2,..., х т), угол между осью Ох k и внешней нормалью к поверхности Г. Формула (3) справедлива, напр., для непрерывных в (D + Г) функций и(х). и v(x)и их частных производных 1-го порядка. Если интегралы в (3) понимаются в смысле Лебега, то для справедливости этой формулы достаточно, чтобы и(х)и v(x)принадлежали Соболева пространству при любых таких, что

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 1-2, М., 1971-73; [2] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, ч. 1-2, М., 1970; [3] Никольский С. М., Курс математического анализа, Т. 1 2, М., 1973.

В. А. Ильин, Т. П. Лукашенко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985