Математическая энциклопедия - интегрирование дифференциальных уравнении в замкнутой форме

представление решений дифференциальных уравнений аналитич. формулами, использующими указанный априори запас функций и перечисленный заранее набор математич. операций.

Если в качестве функций допускаются элементарные функции и функции, входящие в уравнение, а под операциями понимаются конечные последовательности алгебраич. операций и операций взятия неопределенного интеграла (квадратуры) от допустимых функций, то говорят об интегрировании (т. е. решении) дифференциальных уравнений в квадратурах. Примером обыкновенного дифференциального уравнения, интегрируемого в квадратурах, служит Вернулли уравнение. Ж. Лиувилль (см. [1]) впервые указал уравнение, интегрирование к-рого в квадратурах невозможно. Так, решения уравнения

нельзя выразить через элементарные функции и интегралы от них (см. [2]). Обыкновенные дифференциальные уравнения удается проинтегрировать в квадратурах крайне редко. Наиболее глубокие результаты о возможности интегрирования в квадратурах получаются на основе восходящей к С. Ли (см. [3]) теории непрерывных групп преобразований (см. [4], [5]).

И. д. у. в з. ф. допускает привлечение специальных функций, представление решений в виде сходящихся рядов и т. д. Любое конкретное линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами интегрируется в замкнутой форме, если включить в допустимые конечное число функций (вообще говоря, специальных), составляющих фундаментальную систему решений этого уравнения. Например, если ввести Бесселя функции, то с их помощью записывается формула для общего решения уравнения (*). Таким образом, дифференциальные уравнения являются источником специальных функций, включение к-рых в число допустимых позволяет расширять класс уравнений, разрешимых в замкнутой форме. Однако проблема интегрирования в замкнутой форме нелинейного уравнения в общем случае не сводится к пополнению множества допустимых функций конечным числом специальных функций.

Для дифференциальных уравнений с частными производными формулы для решений удается получить лишь в отдельных специальных случаях (см., напр., Д'Аламбера формула). При отыскании формул для решений таких уравнений большое значение имеют групповые методы (см. [5]).

Лит.:[1] Liоuvillе J., "J. math, pures et appl.", ser. 1, 1841, v. 6; [2] Капланский И., Введение в дифференциальную алгебру, пер. с англ., М., 1959; [3] Lie S., Scheflers G., Vorlesungen iiber Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transiormationen, Lpz., 1891; [4] А й н с Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения,

пер. с англ., Хар., 1939; [5] Овсянников Л. В., Групповые свойства дифференциальных уравнений, Новосиб., 1962; [6] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [7] его же, Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка, пер. с нем., М., 1966.

Н. X. Розов,

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985