Математическая энциклопедия - интегральных преобразовании метод

способ решения линейных дифференциальных уравнений при заданных краевых или начальных условиях, состоящий в переходе от данного уравнения к уравнению для интегрального преобразования искомой функции. Последнее уравнение может оказаться более простым. Пусть, напр., требуется найти решение уравнения

на конечном или бесконечном интервале (a, b) с краевыми условиями и(a)=иa, u(b)=ub. Если ядро K(s, х )интегрального преобразования

удовлетворяет соотношению

где K(s)функция s, то после умножения уравнения (1) на K(s, х )и интегрирования по частям в пределах (a, b) получится уравнение

Выражая из него u(s)и применяя формулу обращения интегрального преобразования, можно найти и(х). Аналогично И. п. м. применяется для дифференциальных уравнений с частными производными.

Таким образом, процесс решения дифференциального уравнения этим методом состоит из следующих этапов.

1) Выбор подходящего интегрального преобразования.

2) Умножение уравнения и граничных условий на ядро этого интегрального преобразования и интегрирование в подходящих пределах по переменной, по к-рой проводится интегральное преобразование.

3) При интегрировании в 2) используются соответствующие граничные (или начальные) условия для вычисления членов, возникающих от пределов интегрирования.

4) Решается полученное вспомогательное уравнение и находится интегральное преобразование искомой функции.

5) По формуле обращения определяется искомая функция.

Лит.:[1] Трантер К. Дж., Интегральные преобразования в математической физике, пер. с англ., М., 1956; [2] Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., М.Л., 1951.

Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985