Математическая энциклопедия - интервальная оценка

для неизвестного истинного значения скалярного параметра вероятностного распределения интервал, принадлежащий множеству допустимых значений параметра, границы к-рого суть функции от результатов наблюдений, подчиняющихся данному распределению. Пусть Xслучайная величина, принимающая значения в выборочном пространстве G интервал на действительной прямой, причем истинное значение параметра 0 неизвестно. Интервал границы к-рого являются функциями от подлежащего наблюдению значения случайной величины X, наз. И. о., или доверительным интервалом для 6, число

наз. коэффициентом доверия этого доверительного интервала, а величины а 1 (Х)и а 2 (Х)нижним и верхним доверительными пределами соответственно. Понятие И. о. распространяется на более общий случай, когда требуется оценить нек-рую функцию или только одно ее значение, зависящую от параметра в.

Пусть на множестве задано семейство функций

и пусть по реализации случайного вектора Х=(X1., ..., Х п), принимающего значения в выборочном пространстве требуется оценить функцию и(q, Х), отвечающую неизвестному истинному значению параметра q. Каждому в U отвечает множество B(t), являющееся образом множества Q при отображении По определению, множество называется доверительным множеством для значения u(q, t)функции u(q, Х) в точке t, имеющим доверительную вероятность. и коэффициент доверия

Совокупность всех доверительных множеств С( Х, t )образует в U доверительную зону С(X)для функции u(q, Х) : имеющую доверительную вероятность

и коэффициент доверия

Множества типа С( Х, t )и С(X). наз. И. о. для одного значения u(q, t)функции в точке tи самой функции соответственно.

Существует несколько подходов к построению И. о для неизвестных параметров распределений. Наиболее распространенными являются бейесовский подход, основанный на теореме Бейеса, метод Фишера, связанный с введением фидуциалъных распределений (о метод Фишера см. [3] [5]), Неймана метод доверительных интервалов([5], [8], [9]) и метод, предложенный Л. Н. Большевым [6].

Лит.:[1] Крамер Г., Математические методы статис тики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] Fisher R. A. Statistical Methods and Scientific Inferense, N. Y. L., 1973 [3] Бернштейн С. Н., "Изв. АН СССР". Сер. матем. 1941, т. 5, с. 85-93; [4] Большее Л. Н., Комментарии к статье О "доверительных" вероятностях Фишера, в кн.: Бернштейн С. Н., Собр. соч., т. 4, М., 1964, с. 566-9; [5] Nеуman У., "J. Operat. Res. Soc. Japan", 1961, v. 3, №4, р 145-154; [6] Большев Л. Н., "Теория вероят. и ее примен.", 1965, т. 10, в. 1, с. 187-92; [7] Большев Л. Н Логинов Э. А., "Теория вероят. и ее примен.", 1966, т. 11 в. 1, с. 94-107; [8] Nеуman J., "Biometrika", 1941, v. 32 № 2, р. 128-150; [9] его же, "Phil. Trans. Roy. Soc. London 1937, v. 236, p. 333-80.

M. С. Никулин

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985