Математическая энциклопедия - интуиционизм

совокупность философских и математич. идей и методов, рассматривающих математику как науку об умственных построениях. С точки зрения И., основным критерием истинности математич. суждения является интуитивная убедительность возможности построения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математич. понятий, а также нек-рые способы рассуждения, принятые в классич. логике.

Истоки И. можно проследить еще в античной математике, а позднее в высказываниях таких ученых, как К. Гаусс (С. Gauss), Л. Кронекер (L. Kronecker), А. Пуанкаре (Н. Poincare), А. Лебег (Н. Lebesgue), Э. Борель (Е. Borel). Начиная с 1904 в ряде статей выступил с развернутой критикой нек-рых концепций классич. математики Л. Э. Я. Брауэр (L. E. J. Вrоuwer). В основе этой критики лежит обсуждение статуса существования в математике: в каком смысле следует считать установленным существование актуально заданного бесконечного множества и могут ли быть построены в виде потенциально осуществимой конструкции такие объекты исследования, как неизмеримое множество действительных чисел, нигде не дифференцируемая функция? Естественно предположить, что можно построить произвольное натуральное число в виде последовательного ряда однородных предметов, напр. ряда параллельных черточек. В рамках такой же идеализации можно допустить, что, построив нек-рое натуральное число, можно построить затем и следующее добавив к уже построенному еще одну черточку. Но, возникает вопрос о том, с какого рода построением связано множество всех действительных чисел или множество всех натуральных чисел как единый объект исследования. Современные физич. воззрения также как будто не дают оснований полагать, что в окружающем нас мире актуально существуют бесконечные множества объектов. Есть серьезные основания считать, что объекты, существевание к-рых устанавливается без использования абстракции актуальной бесконечности, а лишь в рамках гораздо более скромной абстракции потенциальной осуществимости, имеют более непосредственное отношение к реальной действительности. Однако при обычной теоретико-множественной трактовке не делается никакого различия между объектами, существование к-рых можно подтвердить с помощью нек-рого потенциально осуществимого построения, и абстрактными теоретико-множественными объектами исследования. Способы установления свойств обоих типов объектов в классич. математике основаны на законах логики, возникших в результате экстраполяции законов, верных для конечных совокупностей, на бесконечные множества. В области бесконечного эти законы не ориентированы на эффективное построение объектов, существование к-рых утверждается. Фактически такое положение дел приводит к появлению в математике так наз. "теорем чистого существования", в к-рых утверждается существование нек-рых объектов и в то же время не указывается никакого способа отыскания этих объектов. Такова, напр., известная теорема классич. анализа, утверждающая, что всякая непрерывная действительная функция, заданная на замкнутом ограниченном множестве, имеет максимум. Обычное доказательство этой теоремы не дает никаких указаний на метод построения искомого максимума. Это обстоятельство может и не смущать теоретико-множественно настроенного математика: он может считать, что максимум "есть" у всякой функции рассматриваемого класса, независимо от того, можно его отыскать в каждом частном случае или нет, "есть" как объект нек-рого воображаемого мира ("платонистского мира", см. [6], с. 399). Однако такой подход не удовлетворяет, если принять во внимание возможности субъекта-иеследователя. Имеется ли способ отыскания максимума, и если этот способ не указан, то в каком смысле верно, что максимум существует у всякой функции рассматриваемого класса? Известно, сколь трудной является задача поиска экстремума у функций даже весьма узкого класса (многочлены с рациональными коэффициентами от нескольких переменных), и, что существенно, указанная теорема нисколько не помогает в решении этой задачи. Заметим, что описанная выше критика классич. математики не связана непосредственно с антиномиями теории множеств. Появление антиномий можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий, не возникает.

Описанная критика теоретико-множественного подхода к математике исторически привела к возникновению двух путей преодоления трудностей в обосновании математики интуиционизма Л. Э. Я. Брауэра и формализма Д. Гильберта (D. Hilbert). Обе концепции, развиваясь, оказывают в настоящее время (1970-е гг.) значительное влияние друг на друга. Так, при обосновании непротиворечивости формальных теорий необходимо уточнить приемы содержательных умозаключений в метаматематике, что делается обычно в рамках тех или иных интуиционистских концепций. С другой стороны, именно с помощью формализации метода удалось получить ряд важнейших результатов о логике интуиционизма.

Интуиционистская математика есть наука об интуитивно убедительных мысленных построениях. Сам Л. Э. Я. Брауэр трактовал эту интуитивную убедительность идеалистически, рассматривая мысленные построения как таковые "безотносительно к таким вопросам о природе конструируемых объектов, как вопрос, существуют ли эти объекты независимо от нашего знания о них" (см. [1]). Однако возможно и материалистич. толкование "интуиции" И. как наглядной умственной убедительности простейших конструктивных процессов реальной действительности. И независимо от философских установок, конкретные математич. результаты, относящиеся к интуиционистской математике и логике, представляют большую научную ценность.

При построении интуиционистской математики обычные логич. связки, употребляемые для формулировки математич. суждений, истолковываются способом, отличным от классического. Суждение считается истинным, только если исследователь имеет возможность его доказать. Доказательство же всегда связано с построением нек-рой мысленной конструкции. Так, утверждение, начинающееся с квантора существования E хА (х), может быть доказано только путем построения объекта х, для к-рого доказывается суждение (х). Дизъюнкция суждений Аи Всчитается доказанной, только если исследователь располагает методом доказательства одного из суждений Аили В. С этой точки зрения суждение вида может быть и не истинным, если проблема Ане решена и не опровергнута к настоящему времени. Отсюда видно, что исключенного третьего закон неприемлем в интуиционистской математике в качестве логич. принципа. Истинное математич. суждение представляет собой сообщение о выполненных построениях, и эффективный характер этих построений предполагает использование особой интуиционистской логики, отличной от классической. При этом эффективность в И. понимается достаточно широко, она не обязательно связана с наличием алгоритма в точном понимании этого термина и может носить, напр., характер историч. наступления события, зависеть от фактич. решения проблем, от физич. факторов.

Объектами исследования интуиционистской математики являются прежде всего конструктивные объекты, такие, как натуральные числа, рациональные числа, конечные множества конструктивных объектов, заданные списком своих элементов. Своеобразным объектом исследования являются так наз. свободно становящиеся последовательности (с. с. п.; в другой терминологии последовательности выбора). С. с. п. можно представлять себе как функцию, определенную на натуральном ряде, принимающую в качестве значений объекты исследования некоторого класса (в простейшем случае натуральные числа) и такую, что всякое ее значение эффективно становится доступным исследователю. Точный анализ показывает, что следует различать несколько видов с. с. п. в зависимости от степени информации, известной исследователю относительно с. с. п. Так, если полностью известен закон образования с. с. п., напр, в виде записи соответствующего алгоритма, то такую с. с. п. наз. заданной законом. Другой крайний случай имеет место, если в каждый момент времени исследователю известен лишь нек-рый начальный отрезок с. с. п. и нет никакой информации относительно ее дальнейшего поведения; такие с. с. п. наз. беззаконными. Эти различия, игнорируемые в классич. математике, в интуиционистской математике могут быть отражены посредством точных математич. принципов, свидетельствующих о разных способах обращения с такими с. с. п. Наконец, объектами исследования интуиционистской математики могут быть и так наз. интуиционистские виды. Вид свойство, к-рым, могут обладать объекты исследования. Объекты, удовлетворяющие этому свойству, наз. элементами вида, или его членами. Во избежание появления антиномий среди видов можно ввести иерархию, подобную типов теории, а именно, требовать, чтобы элементы вида были определены независимо от определения самого вида. Разумеется, при широком введении видов в интуиционистскую математику в ней возникают проблемы, характерные для абстрактной теории множеств, такие, как предикативность, возникновение антиномий и т. п. Следует, однако, иметь в виду, что, с одной стороны, обращение с видами во многом отлично от обращения с множествами в классич. математике и, с другой стороны, в практически разрабатываемой интуиционистской математике виды занимают весьма скромное место. В действительности подавляющую часть результатов можно сформулировать и доказать вообще без употребления видов как самостоятельных объектов исследования. Это связано с естественной тенденцией И. рассматривать в качестве объекта исследования эффективно конструируемые или эффективно порождаемые объекты. В рамках И. рассматриваются и другие, "нетрадиционные" объекты. Перспективным оказалось изучение эффективных функционалов конечного типа, с помощью к-рых в рамках И. удалось построить интерпретацию для классич. анализа [П. С. Новиков, К. Гёдель (К. Godel), К. Спектор (С. Spector)].

Отказ от рассмотрения актуально заданных бесконечных множеств и требование эффективности всех осуществляемых построений приводят к тому, что нек-рые разделы традиционной математики приобретают в И. весьма необычный вид. Числовой континуум трактуется не как совокупность отдельных точек, а как "среда становления", поток измельчающихся рациональных интервалов. Каждое отдельное интуиционистское действительное число определяется с. с. п., значениями к-рой являются неограниченно уменьшающиеся вложенные друг в друга рациональные интервалы. В рассуждениях об интуиционистском числовом континууме применяются такие специфич. принципы, как бар-индукция и теорема о веере. Следствием этого является, напр., то обстоятельство, что в естественной системе понятий всякая интуиционистская действительная функция, определенная на отрезке, равномерно непрерывна. Интуиционистская математика является достаточно разработанным направлением в математике, содержащим много продвинутых результатов, в том числе и в таких областях, как теория меры, функциональный анализ, топология, теория дифференциальных уравнений.

Несколько в стороне от этих исследований стоит попытка Г. Вейля (Н. Weyl, 1918) построить математику на основе предикативного подхода. Соглашаясь в целом с интуиционистской критикой, Г. Вейль предложил ограничиться конструктивными объектами исследования и задавать множества в виде условий в нек-ром языке, определяемом таким образом, чтобы не нарушалась предикативность определения множеств. Впоследствии Г. Вейль присоединился к развитой интуиционистской концепции построения математики, его взгляды положили начало глубоким исследованиям в основаниях математики.

Считая критерием верности построений прежде всего интуицию и в противовес формализму,

Л. Э. Я. Брауэр возражал против попыток формализации интуиционистской математики и, в частности, интуиционистской логики. Однако значительные успехи в изучении интуиционистской логики были достигнуты именно после того, как ее основные законы были точно сформулированы в виде исчислений, к к-рым можно было применять точные методы мат'ематич. логики. В разработке интуиционистской логики приняли значительное участие и математики, не считающие себя "интуиционистами". Более того, вопрос "веры в интуиционизм" становится второстепенным специальные интуиционистские исчисления имеют большой чисто математич. интерес, как проясняющие различные идеи эффективности в математике. Современная тенденция в развитии И. сближает его с конструктивной математикой в самом широком понимании последнего термина.