Математическая энциклопедия - момент

числовая характеристика распределения вероятностей. Момент порядка А; (А;>0 целое) случайной величины Xопределяется как мате-матич. ожидание , если оно существует. Если F(x). функция распределения случайной величины X, то

При определении М. в теории вероятностей используется прямая аналогия с соответствующим понятием, играющим важную роль в механике: формулой (*) определяется М. распределения масс, М. 1-го порядка (статич. момент в механике) случайной величины Xматематич. ожидание . Величина наз. моментом порядка котносительно а, центральным моментом поря д к-а к. Центральный М. 2-го порядка наз. дисперсиейDX(М. инерции в механике). Величина наз. абсолютным моментом порядка к(абсолютный М. определяется и для нецелых к). Аналогично определяется М. совместного распределения случайных величин (см. Многомерное рас пределение):. для любых целых математич. ожидание наз. смешанным моментом порядка к, а центральным смешанным моментом порядка к. Смешанный М. наз. ковариацией и служит одной из основных характеристик зависимости между случайными величинами (см. Корреляция). Многие свойства М. (в частности, неравенства для М.) являются следствием того факта, что для любой случайной величины Xфункция выпукла по А; в каждом конечном интервале, где эта функция определена; является неубывающей функцией от к. Моменты и существуют тогда и только тогда, когда . Из существования М. вытекает существование всех

М. порядка . Если при всех то существуют смешанные М.для всех целых В нек-рых случаях для определения М. бывает полезна т. н. производящая функция моментов функция M(t), для к-рой М. распределения служат коэффициентами при разложении ее по степеням: для целочисленных случайных величин эта функция связана с производящей функцией Р(s)соотношением Если , то характеристич. функция f(t). случайной величины Xимеет непрерывные производные до порядка к включительно, при лтом М. порядка кявляется коэффициентом'при в разложении f(t)по степеням t

Если существует производная характеристич. функции порядка 2к в нуле, то

О связи М. с семиинвариантами см. ст. Семиинвариант.

Если известны М. распределения, то можно сделать нек-рые утверждения о вероятностях отклонения случайной величины от ее математич. ожидания в терминах неравенств; наиболее известны Чебышева неравенство

и его обобщения.

Задача, состоящая в определении распределения вероятностей последовательностью его М., носит название моментов проблемы. Впервые эта задача была рассмотрена П. Л. Чебышевым (1874) в связи с исследованиями по предельным теоремам. Для того чтобы распределение вероятностей случайной величины Xоднозначно определялось своими М. , достаточно, напр., выполнение условия Карлемана

Аналогичное утверждение справедливо и для М. случайных векторов.

Использование М. при доказательстве предельных теорем основывается на следующем факте. Пусть , последовательность функций распределения, все М. к-рых конечны, и пусть при каждом целом имеет место сходимость

где конечны. Тогда существует подпоследовательность , слабо сходящаяся к функции распределения F, имеющей своими М. Если М. определяют Fоднозначно, то последовательность Fn слабо сходится к F. На этом основан т. н. моментов метод, используемый, в частности, в математич. статистике при изучении отклонений эмпирич. распределения от теоретического и для статистич. оценки параметров распределения (о выборочных М. как об оценках М. нек-рого распределения см. Эмпирическое распределение).

А. В. Прохоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985