Математическая энциклопедия - величина

одно из основных математич. понятий, смысл к-рого с развитием математики подвергался ряду обобщений.

I. Еще в "Началах" Евклида (3 в. до н. э.) были отчетливо сформулированы свойства В., наз. теперь, для отличия от дальнейших обобщений, положительными скалярными величинами. Это первоначальное понятие В. является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объема, массы и т. н. Каждый конкретный род В. связан с определенным способом сравнения физич. тел или др. объектов. Напр., в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, н это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приемы, необходимые для сравнения плоских фигур по площади или пространственных тел по объему.

В соответствии со сказанным, в пределах системы всех однородных В. (т. е. в пределах системы всех длин или всех площадей, всех объемов) устанавливается отношение неравенства: две В. одного и того же рода или совпадают , или первая меньше второй , или вторая меньше первой . Общеизвестно также в случае длин, площадей, объемов и то, каким образом устанавливается для каждого рода В. смысл операции сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных В. отношение и операция обладают следующими свойствами:

1) каковы бы ни были ; имеет место одно и только одно из трех соотношений: или , или , или ;

2) если (транзитивность отношений "меньше", "больше");

3) для любых двух В. а и 6 существует однозначно определенная В.

4) (коммутативность сложения);

5) (ассоциативность сложения);

6) (монотонность сложения);

7) если , то существует одна и только одна В. с, для к-рой (возможность вычитания);

8) каковы бы ни были В. а и натуральное число n, существует такая В, b, что (возможность деления);

9) каковы бы ни были В.