Математическая энциклопедия - s-двойственность

стационарная двойственность, Спеньера двойственность, двойственность в теории гомотопии, имеющая место (при отсутствии ограничений на размерность пространств) для аналогов обычных гомотопич. и когомотопич. групп в надстроечной категории для S-гомотопич. и S-когомотопнч. групп или стационарных групп гомотошш и когомотопий, образующих экстраординарные (обобщенные) теории гомологии и когомологий. Надстроечной категорией, или S-к атегорией, наз. категория, объектами к-рой являются топологич. пространства X, а морфизмами классы {f} S-гомотопных отображений f р -кратной надстройки S^pX1 в S^PX2, причем f и g: считаются 5-гомотопными, если существует такое что надстройки гомотопны в обычном смысле.

Множество {Х х, X2} таких классов, наз. S-oтображениями, составляет абелеву группу (относительно так яаз. колейного сложения, см. [1], [2], [4), [5]). Группа {Х г, Х 2 )есть предел прямого спектра множеств [S^kX1, S^kX2]обычных гомотогшч. классов с надстроечными отображениями в качестве проекций, являющегося при достаточно больших кспектром групп с гомоморфизмами. Имеет место изоморфизм S: {Х 1, Х 2}{SX1, SX2}, при к-ром соответствующие друг другу элементы представляются одним и тем же отображением Полиэдром, п- двойственным к полиэдру Xсферы Sⁿ, наз. произвольный полиэдр D п Х в Sⁿ, являющийся S-це формационным ретрактом дополнения т. е. если морфизм, соответствующий вложению есть S-эквивалентность. Полиэдр DnX существует для каждого X, и можно рассматривать Xкак

Для любых полиэдров Х 1, Х 2 и любых n-двойственных им полиэдров DnX1 и DnX2 существует единственное отображение

удовлетворяющее следующим условиям:

а) Оно является инволютивным контравариантным функториальным изоморфизмом, т. е. Dn есть такой гомоморфизм,что если то если то если 0 элемент из {X1 , Х 2} или из {DnX2, DnX1}, то

б) Оно удовлетворяет соотношениям где SDnXi и DnXi рассматриваются как полиэдры, (n+1)-двойственные к полиэдрам X;и, соответственно, SXi, i=i,2; это значит, что оно не зависит от n и стационарно относительно надстройки.

в) Оно удовлетворяет равенству где и гомоморфизмы указанных групп гомологии и когомологий, индуцированные S-отображениями и Dnq, a есть изоморфизм, к-рый получается из изоморфизма Александера двойственности заменой множества его S-деформационным ретрактом DnXi.

Построение Dn опирается на представление данного отображения как композиции вложения и S-деформационной ретракции.

S- гомотопической группой е р (Х)пространства Xназ. группа {S^p, X}, а S-к огомотопической группой S ^Р (Х)пространства Xгруппа {X, SP}. Как и в обычной теории гомотошш, определяются гомоморфизмы

Рассмотрение сфер S^p и S^n-p-1 как n-двойственных приводит к изоморфизму

и к коммутативной диаграмме

Таким образом, изоморфизм Dn связывает S-гомотопич. и S-когомотопич. группы подобно тому, как изоморфизм двойственности Александера Daⁿ связывает группы гомологии и когомологии. Какая-либо двойственность в S-категории приводит к двойственности в случае обычных гомотопич. классов, если на пространство наложить требования, из к-рых следует наличие взаимно однозначного соответствия множества указанных классов с множеством S-гомотопических классов.

Примерами двойственных предложений в этой теории являются теорема Гуревича об изоморфизме и теорема классификации Хопфа. Dn переводит одну из этих теорем в другую, что означает замену S-гомотопич. групп S-когомотопическими, групп гомологии группами когомологии, отображения jpотображениями j^n-p-1, наименьшей размерности с нетривиальной гомологич. группой наивысшей размерностью с нетривиальной группой когомологии, и наоборот. В обычной теории гомотогши для определения n-когомотопич. группы требуется, чтобы размерность пространства не превышала 2n-2 (или, более общо, чтобы пространство было (2n-1)-косвязным, n>1), что нарушает полную общность двойственности.

Теория обобщается в различных направлениях: напр., рассматриваются пространства, имеющие S-гомотопический тип полиэдров, относительный случай, теория с носителями и др. (см. [3], [5], [6], [7]). Она послужила одним из источников стационарной гомотопической теории [8].

Лит.:[1] Спаньер Э. Г., "Математика", 1959, т. 3, № 1, с. 17-25; [2] Spanier E. H., Whitehead J. Н. С, "Mathematical 1955, v. 2, №3, p. 56-80; [3] их же, "Ann. Math.", 1958, v. 67, №2, p. 203 38; [4] Barratt M. G., "Proc. Lond. Math. Soc", 1955, v. 5, p. 71 106, 285 329; [5] Сп.