Математическая энциклопедия - когомологии

термин, употребляемый по отношению к функторам гомологической природы, которые, в отличие от гомологии, как правило, контравариантно зависят от объектов основной категории, на которой они определены. В отличие от гомологии, связывающие гомоморфизмы в когомологической точной последовательности повышают размерность. В типичных ситуациях когомологии возникают одновременно с соответствующими гомологиями.

Е. Г. Скляренко.

Когомологии топологического пространства градуированная группа

которая ставится в соответствие топологич. пространству и абелевой группе G. Понятие К. двойственно понятию гомологии (см. Гомологии теория, Гомологии группа, Александрова Чеха гомологии и когомологии). Если Gкольцо, то в группе Н*(X, G )определено естественное умножение (произведение Колмогорова Алекса н дера или U-п роизведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо (кольцокогомологий). В случае, когда Xдифференцируемое многообразие, кольцо когомологий Н*(X, R )может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на X(см. де Рама теорема).

Когомологий со значениями в пучке абелевых групп обобщение обычных когомологий топологич. пространств. Имеются две теории когомологий со значениями (или с коэффициентами) в пучках абелевых групп: когомологий Чеха и когомологий Гротендика.

Когомологий Чеха. Пусть Xтопологич. пространство, пучок абелевых групп на X, открытое покрытие пространства X.n-мерной коцепью покрытия наз. отображение f, к-рое всякому упорядоченному набору такому, что

сопоставляет сечение fi0...in пучка Fнад Ui0...in . Множество всех re-мерных коцепей является абелевой группой относительно сложения. Кограничный оператор

определяется следующим образом:

где символ означает, что соответствующий индекс опускается.

Последовательность

является комплексом (комплекс Чеха). Когомологий этого комплекса обозначаются и наз. когомологиями Чеха покрытия со значениями в Группа совпадает с группой сечений пучка F. При вычислении этих когомологий комплекс Чеха можно заменить его подкомплексом, состоящим из альтернированных коцепей, т. е. коцепей, меняющих знак при перестановке двух индексов и равных 0 в случае, когда два индекса совпадают.

Если покрытие вписано в т. е. для каждого указано так, что то определен канонический гомоморфизм Н ^п Н ^п ( ), не зависящий от вписывания т. n-мерная группа когомологий Чеха пространства Xсо значениями в определяется формулой:

где индуктивный предел берется по направленному (по отношению вписанности) множеству классов открытых покрытий (два покрытия эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое из них можно вписать в другое). Определение когомологий Чеха применимо и к предпучкам.

Недостатком когомологий Чеха является то, что они (для непаракомпактных пространств) не образуют когомологич. функтора (см. Гомологический функтор). В случае, когда постоянный пучок, соответствующий абелевой группе группы совпадают с когомологиями Александрова Чеха с коэффициентами в группе

Когомологии Гротеидика. Рассматривается функтор из категории пучков абелевых групп на Xв категорию абелевых групп. Правые производные этого функтора наз. n-мерными группами когомологий Гротендика со значениями впучке и обозначаются n=0, 1,... . Точной последовательности пучков абелевых групп

соответствует точная последовательность

т. е. образуют когомологич. функтор. При этом Если вя лый пучок, то Эти три свойства когомологий Гротендика характеризуют функтор однозначно с точностью до изоморфизма.

Для вычисления когомологий Гротендика пучка можно воспользоваться левой резольвентой пучка состоящей из пучков, когомологий Гротендика к-рых равны 0 в положительных размерностях. Напр., на произвольных топологич. пространствах можно взять резольвенту из вялых пучков, а на паракомпактных пространствах из мягкий пучков или из тонких пучков.

Когомологий Гротендика связаны с когомологиями покрытий следующим образом. Пусть -открытое покрытие пространства X. Тогда существует спектральная последовательность сходящаяся к и такая, что где предпучок, сопоставляющий открытому множеству группу Если когомологий всех со значениями в равны 0 в положительных размерностях, то последовательность вырождается и (теорема Лере). В общем случае спектральная последовательность определяет функторный гомоморфизм и, после перехода к пределу,функторный гомоморфизм

Последний гомоморфизм биективен для n=0, 1, инъективен (но, вообще говоря, не сюръективен) для n=2 и биективен для всех п, если Xпаракомпактно. Таким образом, для паракомпактного пространства X

Обобщением определенных выше групп когомологий являются группы когомологий с носителями в семействе Ф. Семейство Ф замкнутых подмножеств пространства Xназ. семейством носителей, если 1) замкнутое подмножество любого множества из Ф принадлежит Ф; 2) объединение любых двух подмножеств из Ф лежит в Ф. Группы определяются как правые производные функтора где Г Ф (Х, группа сечений пучка носители к-рых лежат в Ф. Они образуют когомологич. функтор.

Если Ф семейство всех замкнутых множеств, то Другой важный частный случай: Ф = с семейство всех компактных подмножеств. Группы наз. группами когомоло-

гий с компактными носителями. В случае, когда Fпучок колец, в группе