Математическая энциклопедия - когомологическая размерность

1) К. p. (dimGX) топологического пространства Xотносительно группы коэффициентов Gмаксимальное целое число р, для к-рого в X найдутся замкнутые подмножества Атакне, что когомологий Н ^p( Х, A; G )отличны от нуля. Аналогично определяется гомологическая размерность hdimGX. Конечная лебегова размерность совпадает с dimG (с hdimG), если Gцелые числа (приведенные по модулю 1 действительные числа). В евклидовом пространстве равенство dimGX=p равносильно тому, что Xлокально зацепляется (п-р-1)-мерными циклами (с коэффициентами в G). Для паракомпактных пространств Xнеравенство равносильно существованию мягких резольвент для Gдлины р. Поскольку мягкие пучки ацикличны, этим устанавливается связь с общим определением размерности в гомологич. алгебре, напр, инъективная (проективная) размерности модуля если он обладает инъективными (проективными) резольвентами длины р;глобальная размерность кольца есть максимум инъективных (проективных) размерностей модулей над кольцом и является аналогом лебеговой размерности X.

Лит.:[1] Александров П. С, "Ann. Math.", 1929, v. 30, p. 101-87; [2] его же, "Math. Ann.", 1932, Bd 106, S. 161-238; [3] eго же, Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975; [4] Xарлап А. Э., "Матем. сб.", 1975, т. 96, № 3, с. 347-73; [5] Кузьминов В. И., "Успехи матем. наук", 1968, т. 23, № 5, с. 3-49; [6] Вrеdоn G. E., Sheat theory, N. Y., 1967; [7] Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960.

Е. Г. Скляренко.

2) К. р. схемы аналог понятия когомологической размерности топологич. пространства для алгебраич. многообразия или схемы с выбранной теорией когомологий на них. Пусть Xалгебраич. многообразие или нётерова схема размерности п. К. р. схемы Xназ. целое число cd(X), равное нижней грани в тех i, для к-рых для всех абелевых пучков на топологическом пространстве Xпри j>i. Справедливо неравенство

Когерентнойкогомологической размерностью схемы Xназ. число cohcd (X), равное нижней грани тех г, для к-рых для всех когерентных алгебраич. пучков на Х при j>i. В силу определения По теореме Серра cohcd(X) = 0 тогда и только тогда, когда X - аффинная схема. С другой стороны, если Xалгебраич. многообразие над полем k, то cohcd(X)=n тогда и только тогда, когда Xсобственно над к(теорема Лихтенбаума) (см. [3]).

Пусть Xсобственная схема над полем k, Yее замкнутая подсхема коразмерности dи U=X-Y. Тогда имеют место следующие утверждения ([2] [4]).

Если У теоретико-множественное полное пересечение обильных дивизоров на X, то

если Xпроективное многообразие Коэна Маколея (напр., неособое проективное многообразие) и Y нульмерно, то cohcd (U)=n-1. Условие cohcd (U) п-2 равносильно тому, что У связно. Если Х = Р ^ппроективное пространство и У связно и размерности то

Если Xалгебраич. комплексное многообразие, то можно рассматривать гомологич. размерность соответствующего топологич. пространства Х(С). В общем случае, когда Xнётерова схема, аналогом гомологич. размерности является понятие этальной когомологической размерности схемы X. Точнее, пусть Xetэтальная топология Гротендика схемы Xи lпростое число. Когомологической l- размерностью схемы X(или этальной К. р.) наз. число cdl(X), равное нижней грани тех i, для к-рых для всех Z-периодических абелевых пучков Fна Xet при j>i. Если X=Spec A аффинная схема, то cdl(Spec A)наз. также К. р. кольца А. В частности, если Аполе, то понятие cdl(A) совпадает с понятием К. р. поля, к-рое изучается в теории Галуа когомологий.

Если Xалгебраич. многообразие размерности пнад полем k и то В частности, если kсепарабельно замкнутое поле, то Если Xаффинное алгебраич. многообразие над сепарабельно замкнутым полем к, то cdl(X) dim X.

Пусть kполе конечной характеристики р, тогда для любой нётеровой схемы Xнад полем кимеет место неравенство

В частности, для любого нётерова коммутативного кольца А

Если Xквазипроективное алгебраич. многообразие над сепарабельно замкнутым полем к, то cdp(X) dim X, где р - характеристика k.

Лит.:[1] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [2] Наrtshоrne R., "Ann. Math.", 1968, v. 88, p. 403-50; [3] eго же, Ample subvarieties of algebraic varieties, В., 1970; [4] eго же, "Compositio math.", 1971, t. 23, № 3, p. 257-64; [5] Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, B.Hdlb.N. Y., t. 2, 1972; t. 3, 1973.

И. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985