Математическая энциклопедия - когомологии алгебр

группы

(см. ФункторExt), где D ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом Кс фиксированным гомоморфизмом K-алгебр позволяющим рассматривать кольцо Ккак Л-модуль, a А есть R-модуль. Это определение охватывает наиболее распространенные теории когомологии нек-рых типов (универсальных) алгебр.

Впервые группы когомологии групп во всех размерностях были введены С. Эйленбергом и С. Маклейном [3] в связи с топологич. исследоваяиями и Д. К. Фаддеевым [5] с чисто алгебраич. точки зрения как группы классов обобщенных систем факторов, в 40-х гг. 20 в. Ранее изучались в той или иной форме когомологии групп в малых размерностях (см. [1], [2], [4]).

Примеры групп когомологии. 1) Если К= Z - кольцо целых чисел, G-группа, Д = ZG - групповая алгебра группы Gнад Z,

то группы Hⁿ{R, А )наз. группами когомологии группы Gс коэффициентами (или со значениями) в Д-модуле Аи обозначаются Hⁿ(G, A). Можно вместо группы Gрассмотреть моноид Gи аналогично получить группы когомологии Hⁿ(G, А )моноида G.2) Если Sассоциативная К-алгебра, S⁰ антиизоморфная ей K-алгебра,

то группы Hⁿ(R, А )наз. группами когомологии ассоциативной алгебры Sс коэффициентами в S-бимодуле А(т. е. в R-модуле А)и обозначаются Hⁿ(S, А). Если К - поле, то группы Hⁿ(S, А )наз. группами когомологии Хохшильда Z-алгебры S.

3) Если S-алгебра Ли над полем К, R= USее универсальная обертывающая алгебра с пополнением то группы Hⁿ(R, А )наз. группами когомологийалгебры Л и S с коэффициентами в US -модуле А(т. е. в лиевом S-модуле А)и обозначаются Hⁿ(S, А).

При n=0, 1, 2 группы когомологий в ряде случаев допускают простую интерпретацию.

а) Если Gгруппа, то группа H⁰(G, А )изоморфна группе инвариантных элементов; группа H¹(G, А)изоморфна факторгруппе Der(G, A)/Ider(G, А), где

группа дифференцирований (или скрещенных гомоморфизмов),

-группа внутренних дифференцирований (или главных скрещенных гомоморфизмов), при этом точна последовательность

для абелевой группы Gгруппа H²(G, А)изоморфна группе расширений группы Ас помощью группы G(см. Бэра умножение);третья группа когомологии группы Gсвязана с препятствиями для расширений (см. [9], гл. IV).

б) Если Sассоциативная K-алгебра, то группа H⁰(S, А )изоморфна группе

группа Я ¹ (S, А )изоморфна факторгруппе

где

группа H²(S, А )описывает сингулярные расширения S-бимодуля Ас помощью кольца S(см. [14]).

в) Если Sалгебра Ли, то группа H⁰(S, А )изоморфна K-модулю группа H¹(S, А )изоморфна факторгруппе

где

двумерная группа когомологии H²(S, А )алгебры Ли соответствуют K-расщепляющимся расширениям алгебр Ли (см. [6], гл. XVI); в нек-рых случаях элементы группы H³(S, А )являются препятствиями в задаче о расширении.

Группы когомологии находят широкое применение в различных областях алгебры. Так, напр., если Gгруппа и H²(G, А) = 0 для всех ZG-модулей А, то Gсвободная группа (теорема Столлингса, см. Гомологическая размерность). Если Gгруппа, С* мультипликативная группа поля комплексных чисел, то группа М(G) = H²(G, С*) наз. мультипликатором Шура группы G. Она играет важную роль при изучении центральных расширений групп и в теории проективных представлений конечных групп [1]. Если Gгруппа, АZG-модуль и рА=0 для простого числа р, то

где k=GF(p)поле из рэлементов. Если Gконечная р-группа, то d(G)=dimk H¹(G, k)минимальное число образующих группы G,r(G) = dimk H²(G, k) - минимальное число определяющих соотношений для G, рассматриваемой как про-р-группа, где R(G)минимальное число соотношений дискретной группы G. Тот факт, что r(G)d(G)стремится к бесконечности при приводит к отрицательному решению проблемы башни полей, проблемы Куроша о нильалгебрах и общей проблемы Бернсайда [10]. Если Gпро-р-группа, семейство всех

ее открытых нормальных делителей, то группа

наз. п- йгруппой когомологии про-р-группы С с коэффициентами в ZG-модуле Аи обозначается Hⁿ(G, А). Если Ерасширение Галуа поля Lс группой Галуа G=G(E/L), то группа Gявляется про-р-группой, группы Hⁿ(G, А )наз. группами когомологий Галуа. Важную роль играют группы H^q(G, Е*), где Е*мультипликативная группа поля Е. Так, H¹(G, E*)=0, а следствием этого факта является известная теорема Гильберта (о циклических расширениях) 90. Если же Есепарабельное замыкание поля L, то группа H²(G(E/L), Е* )наз. группой Брауэра поля L(см. Брауэра группа). В настоящее время (1978) развита теория Галуа коммутативных колец, в к-рой существенную роль играют когомологий Галуа коммутативных колец и группа Брауэра.

Если Sассоциативная алгебра, то из H²(S, S) = 0 следует, что алгебра Sжесткая (см. Деформация, алгебры).

Группы когомологий Hⁿ(R, А )в нек-ром смысле двойственны группам гомологии

ассоциативной K-алгебры Rс коэффициентами в R-модуле А. Если G-группа, R=ZG и К=Z, то группы Hn(R, А )наз. группам игомологийгруппы Gс коэффициентами в R-модуле Аи обозначаются Н n(G, А);если Sассоциативная K-алгебра и R= то группы Hn(R, А )наз. группами гомологии ассоциативной алгебры Sс коэффициентами в S-бимодуле Аи обозначаются Hn(S, А);если S - алгебра Ли и R=US ее универсальная обертывающая алгебра, то группы Hn(R, А). наз. группами гомологии алгебры Л и Sс коэффициентами в лиевом S-модуле Аи обозначаются Hn(S, А). Группы гомологии в малых размерностях в ряде случаев также допускают простую интерпретацию. Так, если G - группа, то H0(G, Z)Z, H1(G, Z)G/[G, G].