Математическая энциклопедия - когомологий банаховых алгебр

группы Н ^п( А, X),где X - банахов бимодуль над банаховой алгеброй А, определяемые как когомологий коцепного комплекса

n-мерные цепи к-рого являются непрерывными n-линейными операторами из Ав X, а

К. б. а. могут быть также введены с помощью банахова аналога функтора Ext, есть и их аксиоматическое определение.

Аналогично когомологиям алгебр, элементы одномерных К. б. а. реализуются как непрерывные дифферендирования из Ав X"по модулю внутренних", а элементы двумерных как препятствия к расщепимости сингулярных расширений Ас ядром X. В то же время на языке К. б. а. выражается ряд специфических понятий анализа и топологии.

Алгебра Атакая, что Н ²( А, Х)=0 для всех X, наз. вполне отделимой; эти алгебры характеризуются тем, что все их сингулярные расширения расщепимы. Специфика банаховых структур сказывается в том, что такое требование является весьма жестким: вполне отделимая коммутативная банахова алгебра необходимо имеет конечный спектр (пространство максимальных идеалов). В частности, вполне отделимая алгебра функций совпадает с прямой суммой конечного числа полей комплексных чисел.

Класс банаховых алгебр с тривиальными когомологиями в высших размерностях уже не столь узок: таковы, напр., бипроективные алгебры алгебры А, проективные, как банахов А-бимодуль. Бипроективными являются L¹- и С*-алгебра компактной группы, а также алгебры ядерных операторов во всех классических примерах банаховых пространств. При нек-рых условиях на банахову структуру топологически простые бипроективные алгебры допускают полное описание, а любая полупростая бипроективная алгебра разлагается в их топологич. прямую сумму.

Коммутативная алгебра наз. слабо наследственной, если ее максимальные идеалы проективны. Это свойство эквивалентно тривиальности Н ²( А, X )с теми X, у к-рых ха=l х при всех Для прективности идеала в коммутативной банаховой алгебре Анеобходимо, а при A = C(W). и достаточно, чтобы его спектр был паракомпактен. В частности, слабая наследственность алгебры С(Я)эквивалентна паракомпактности всех множеств вида

Пространство, сопряженное к A-бимодулю X, само есть A-бимодуль. Алгебры с Н ^п( А, X*) = 0 при всех Xи n>0 наз. аменабельными, поскольку для A=L¹(G)такое свойство равносильно аменабельности (усреднимости) самой G. В общем случае Ааменабельна тогда и только тогда, когда алгебра

обладает ограниченной аппроксимативной единицей.

Лит.:[1] Johnson В. Е., "Mem. Amer. Math. Soc.", 1972, № 127; [2] Xeлемский А. Я., Труды семинара им. Петровского, 1978, в. 3, с. 223-42.

А. Я. Хелемский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985