Математическая энциклопедия - когомологий алгебр ли

специальный случай когомологий алгебр. Пусть алгебра Ли над коммутативным кольцом Кс единицей и пусть задан левый -модуль V. т. е. линейное над Кпредставление алгебры в K-модуле V. Модулем р-м ерных когомологий алгебры Ли со значениями в F наз. ( К, V), р = 0, 1, 2,..., где -универсальная обертывающая алгебра алгебры [3]. Иначе говоря, соответствие есть p-й правый производный функтор для функтора из категории -модулей в категорию K-модулей, где }. Функтор = является когомологическим (см. Гомологический функтор).

В малых размерностях К. а. Ли интерпретируются следующим образом. Модуль совпадает с Если V', V"-модули, то можно отождествить с множеством классов эквивалентных расширений -модуля V" с ядром V'. Если рассматривать как -модуль относительно присоединенного представленияad, то изоморфен фактормодулю модуля всех дифференцирований по подмодулю внутренних дифференцирований. Если есть свободный K-модуль (напр., Кполе), то отождествляется с множеством классов эквивалентных расширений алгебры ядром к-рых служит абелева алгебра Ли Vс заданным представлением алгебры Модуль интерпретируется также как множество инфинитезимальных деформаций алгебры Ли

Имеется следующая связь между К. а. Ли и когомологиями ассоциативных алгебр; если свободный K-модуль и Vпроизвольный двусторонний -модуль, то где представление алгебры в Vопределяется формулой

Другой способ введения К. а. Ли (см. [6], [14]) использует коцепной комплекс = где модуль всех кососимметрических р-линейных отображений снабженный кограницей вида

где знак показывает, что соответствующий аргумент пропускается. В случае, когда свободный К- модуль, когомологии этого комплекса естественно изоморфны модулям С каждой подалгеброй связывается подкомплекс приводящий к относительным кого мологиям = Если V-алгебра над К, на к-рой действует дифференцированиями, то в когомологиях возникает естественное умножение, к-рое превращает в градуированную алгебру.

Пусть алгебра Ли (над R)гладких векторных полей на дифференцируемом многообразии М, V=F(M)пространство гладких функций на Мс естественной структурой -модуля. Определение кограницы в формально совпадает с определением внешнего дифференциала дифференциальной формы. Точнее, комплекс де Рама есть подкомплекс в состоящий из коцепей, линейных над F(M). С другой стороны, если алгебра Ли связной вещественной группы Ли G, то комплекс отождествляется с комплексом левоинвариантных дифференциальных форм на G. Аналогично, если подалгебра, отвечающая связной замкнутой подгруппе то естественно изоморфен комплексу G-инвариантных дифференциальных форм на многообразии G/H. В частности, если Gкомпактна, то отсюда получаются изоморфизмы градуированных алгебр:

Именно эти факты послужили отправной точкой при определении К. а. Ли. На них основаны и приложения аппарата К. а. Ли к изучению когомологии главных расслоений и однородных пространств (см. [8], [14]).

Двойственным образом определяются гомологии алгебры Ли с коэффициентами в правом -модуле V. А именно, р-мерная группа гомологии есть K-модуль

В частности, а если Vтривиальный -модуль, то

При вычислении К. а. Ли широко используются следующие спектральные последовательности, часто наз. спектральными последовательностями Хохшильда Серра. Пусть идеал в и Vнекоторый модуль. Если и свободные K-модули, то существует спектральная последовательность с

сходящаяся к (см. [3], [14]).

Аналогичная спектральная последовательность существует для гомологии [3]. Далее, пусть конечномерная алгебра Ли над полем Кхарактеристики О, ее подалгебры, причем редуктивна в V-модуль, являющийся полупростым -модулем. Тогда существует спектральная последовательность с сходящаяся к (см. [12], [14]).

Полностью изучены когомологии конечномерных редуктивных и, в частности, полупростых алгебр Ли над полем характеристики 0. Если полупростая конечномерная алгебра Ли над таким полем, то для любого конечномерного -модуля Vимеют место равенства