Математическая энциклопедия - модуль

абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек-рым кольцом.

Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А- модулем, если определено отображение значение к-рого на паре для записывается как am, причем выполняются аксиомы:

Если кольцо Аобладает единицей, то обычно требуют дополнительно, чтобы для любого выполнялось равенство . М. с этим свойством наз. унитарным, или унитальным.

Аналогично определяются правые A-модули; при этом аксиома 3) заменяется условием Любой правый А-модуль можно рассматривать как левый -модуль над кольцом , антиизоморфным кольцу А, поэтому любому утверждению о правых A-модулях соответствует нек-рое утверждение о левых -модулях и наоборот. В случае, когда кольцо Акоммутативно, любой левый A-модулъ можно рассматривать как правый A-модуль, и различие между левыми и правыми М. исчезает. Ниже будут рассматриваться только левые A-модули.

Простейшие примеры М. (конечные абелевы группы, т.