Математическая энциклопедия - модули римановой поверхности

числен ные характеристики (параметры), одни и те же для всех конформно эквивалентных римановых поверхностей, в своей совокупности характеризующие конформный класс эквивалентности данной римановой поверхности. При этом две римановы поверхности R1 и R2 наз. конформно эквивалентными, если существует конформное отображение R1 на R2. Напр., конформные классы компактных римановых поверхностей топологии, рода g>l характеризуются 6g-6 действительными М. р. п.; риманова поверхность типа тора (g=l) характеризуется двумя модулями; "-связная плоская область, рассматриваемая как риманова поверхность с краем, при характеризуется Зп6 модулями. О структуре пространства М. р. п. см. Римановых поверхностей конформные классы.

Необходимым условием конформной эквивалентности двух плоских областей является одинаковая связность этих областей. Согласно Римана теореме все односвязные области с более чем одной граничной точкой конформно эквивалентны друг другу: каждую такую область можно конформно отобразить на одну и ту же канонич. область, в качестве к-рой обычно рассматривают единичный круг. Для областей связности , точного эквивалента теоремы Римана не существует: нельзя указать какую-либо фиксированную область, на к-рую можно однолистно и конформно отобразить все области данного порядка связности. Это привело к более гибкому определению канонич. n-связной области, к-рое указывает общую геометрпч. структуру этой области, но не фиксирует ее модулей (см. Конформное отображение).

Каждая двусвязная область Dплоскости z с невырожденными граничными континуумами может быть конформно отображена на нек-рое круговое кольцо , . Отношение R/r радиусов граничных окружностей этого кольца является конформным инвариантом и наз. модулем двусвязной области D. Пусть Dобласть связности , с невырожденной границей. Область Dможно конформно отобразить на нек-рую n-связную круговую область , представляющую собой круговое кольцо с п-2 выброшенными кругами, ограниченными окружностями окружности лежат в кольце и попарно не имеют общих точек. При этом можно считать, что R = 1 и w1>0. Тогда область зависит от действительных параметров: от п-1 чисел и от действительных параметров, определяющих центры окружностей , . Эти действительных параметров и являются модулями и-с вязной области Dв случае

В качестве модулей n-связной области Dможно взять и другие действительных параметров ( если , и , если ), определяющих конформное отображение области Dна нек-рую канонич. n-связную область другого вида.

Лит.:[1] Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960, с. 74, 325; [2] Берс Л., "Успехи матем. наук", 1973, т. 28, в. 4, с. 153-98; [3] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [4] Курант Р., Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, пер. с англ., М., 1953.

Г. В. Кузьмина, Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985