Математическая энциклопедия - поверхность

одно из основных понятий геометрии. Определения П. в различных областях геометрии существенно отличаются друг от друга.

В элементарной геометрии рассматриваются плоскости, многогранные П., а также нек-рые кривые П. (напр., сфера). Каждая из кривых П. определяется специальным способом, чаще всего как множество точек или линий. Общее понятие П. в элементарной геометрии лишь поясняется, а не определяется: говорят, что П. есть граница тела или след движущейся линии и т. п.

В аналитич. и алгебраич. геометрии П. рассматривается как множество точек, координаты к-рых удовлетворяют определенному виду уравнений (см., напр., Поверхность второго порядка, Алгебраическая поверхность).

В 3-мерном евклидовом пространстве Е ³ П. определяется с помощью понятия простой П. как гомеоморфизм квадрата в E³. П. понимается как связное множество простых П. (напр., сфера является объединением двух полусфер простых П.).

Обычно задание П. в E³ осуществляется вектор-функцией

где а

функции параметров ии v, удовлетворяющие нек-рым условиям регулярности, напр. условию

(см. также Дифференциальная геометрия, Поверхностей теория, Риманова геометрия).

С точки зрения топологии П. двумерное многообразие, Л. А. Сидоров.

КЗ-ПОВЕРХНОСТЬ гладкая проективная алгебраич. поверхность X, у к-рой канонич. класс тривиален и размерность dimH¹ (X, W¹) пространства одномерных дифференциальных форм на Xравна 0. Для КЗ-П. известны значения следующих инвариантов: геометрич. род pg = dimH²(X, W²) = l, эйлерова характеристика структурного пучка c() = 2, этальные или (над полем комплексных чисел) топологич. числа Бетти b0=b4=1, b1=b3=0, b2=22, характеристика Эйлера Пуанкаре е(Х) = 24. Формула Римана Роха для одномерного обратимого пучка Dна КЗ-П. приобретает вид

где (D)² индекс самопересечения класса дивизоров, соответствующего пучку D(см. Римана Роха теорема). Если пучку Dсоответствует эффективный неприводимый дивизор, то H¹(X, D) = 0.

Формула для вычисления арифметич. рода неприводимой кривой Сна Xтоже имеет простой вид:

Как следствие получается, что , а равенство (C)²=-2 будет выполнено только для гладких рациональных кривых. Отсюда также следует, что (D)² - четное число для любого дивизора D. Пусть N(X) - группа Нерона Севери поверхности X, т. е. группа классов дивизоров на Xотносительно алгебраич. эквивалентности. Тогда N(X) - свободная абелева группа ранга r, где , если характеристика основного поля kравна 0, и или r=22, если char k>0. Индекс пересечения определяет на N(X).целозначную билинейную форму, у к-рой квадрат любого элемента четен. Поверхности с r=20 (при char k=0).наз. сингулярными, а с r=22 (при char k>0) с уперсингулярными.

Еще один численный инвариант поверхности X - это минимальный возможный индекс p самопересечения эффективного очень обильного дивизора на X, т. е. минимальная возможная степень поляризации на X. Если p=2n-2, то поверхность Xможно вложить в n-мернос проективное пространство и нельзя вложить в проективное пространство меньшей размерности.

Важный способ изучения КЗ-П.представление их в виде семейства (пучка) эллиптич. кривых. Поверхность Xпредставлена в виде семейства эллиптич. кривых, если задано регулярное отображение t: X Р ¹, все слои к-рого, кроме конечного их числа,неособые эллиптич. кривые. Поверхность Xможет быть представлена в таком виде тогда и только тогда, когда в группе N(X).есть ненулевой элемент с индексом самопересечения 0, причем всевозможные такие представления соответствуют классам эффективных дивизоров с индексом самопересечения 0. Если поверхность, представленная в виде семейства эллиптич. кривых, является КЗ-П., то у нее нет кратных слоев. Построенное по такому семейству якобиево эллиптич. семейство снова будет КЗ-П.

Важный класс КЗ-П. Куммера поверхности. Куммерова поверхность это неособая модель фактора двумерного абелева многообразия Апо подгруппе автоморфизмов, порожденной отображением замены знака. В частности, куммеровой будет поверхность, задаваемая уравнением в P³. Любая гладкая поверхность 4-й степени в Р ³ является КЗ-П. Поверхностями КЗ будут гладкие поверхности, получаемые как пересечение трех гиперповерхностей 2-й степени (квадрик) в Р ⁵ и как двойное накрытие плоскости с кривой ветвления 6-й степени.

Все КЗ-П. над полем комплексных чисел диффео-морфны, их многообразие модулей связно и имеет размерность 19. Строение этого многообразия модулей и автоморфизмы КЗ-П. изучают при помощи отображения периодов. Для КЗ-П. над полем комплексных чисел отображение периодов биективно (теорема типа Торелли) (см. [2]).

Если задано одномерное семейство КЗ-П. (над ) с одним вырожденным слоем, то после накрытия базы его можно перестроить, не меняя вне вырожденного слоя, так что этот вырожденный слой либо станет невырожденным, либо будет одного из двух типов: (а) компоненты вырожденного слоя и кривые пересечений рациональны, двойственный полиэдр вырожденного слоя имеет топологич. тип двумерной сферы, (б) компоненты вырожденного слоя составляют цепочку, непустое пересечение имеют только соседние поверхности, крайние две поверхности рациональны, средние эллиптические линейчатые, кривые пересечения эллиптические. Типы (а) или (б).возникают, когда монодромия семейства нетривиальна (см. [2]).

КЗ-П. над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики допускают подъем в характеристику нуль, модули их кристаллич. когомологий не имеют кручения, а ранги этих модулей совпадают с размерностями соответствующих этальных когомологий. Для суперингулярных поверхностей построен аналог отображения периодов, и для него тоже доказана теорема типа Торелли. Многообразие периодов здесь неприводимо, полно, имеет размерность 9 и унирационально. Описаны все возможные для суперсингулярных поверхностей формы пересечений на N(X), их 9 для каждого значения характеристики основного поля (см. [4]).

Лит.:[1] Алгебраические поверхности, М., 1965 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 75); [2] Куликов В. С., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1977, т. 41, № 5, с. 1008-42; [3] Р у д а к о в А. Н., Шафаревич И. Р., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1981, т. 45, № 3, с. 646-61; [4] Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 18, М., 1981. А. Н. Рудаков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985