Математическая энциклопедия - дивизор

обобщение понятия делителя элемента коммутативного кольца. Впервые (под назв. "идеальный делитель") это понятие возникло в работах Э. Куммера [1] об арифметике круговых полей.

Теория Д. для коммутативного кольца А с единицей без делителей нуля состоит в построении гомоморфизма j из мультипликативной полугруппы А* ненулевых элементов Ав нек-рую полугруппу D0 с однозначным разложением на множители, элементы к-рой наз. (целыми) дивизорами кольца А. Теория Д. позволяет свести ряд вопросов, связанных с разложением на простые множители в кольце А, где это разложение может быть неоднозначно, к рассмотрению разложения на простые множители в D0. Образ элемента обозначается (а) и наз. главным дивизором элемента а. Говорят, что делится на Д. aО D0, если а делит (а) в D0.

Точнее, пусть D0свободная абелева полугруппа с единицей, свободные образующие к-рой наз. простыми дивизорами, и пусть задан гомоморфизм j:Гомоморфизм j определяет теорию Д. кольца А, если он удовлетворяет следующим условиям.

1) Для элемент аделит bв кольце Атогда и только тогда, когда (а)делит (b) в D0.

2) Для любого

является идеалом кольца А.

3) Если и для любого (а)делится на а тогда и только тогда, когда (а)делится на а', то a=a'.

Этими условиями гомоморфизм ф, если он существует, определяется однозначно с точностью до изоморфизма. Ядро ker j совпадает с группой единиц кольца А. Элементы из D0 наз. положительными Д. кольца А. Пусть Кполе частных кольца А и свободная абелева группа, порожденная множеством простых Д. Тогда для любого можно определить главный дивизор (c)О D. Если с= a/b, где то (с)=(a)/(b). Элементы группы Dназ. дробными дивизорами (или просто дивизорами) кольца А(или поля К). Каждый Д. может быть записан в виде

где piпростые Д. Либо (в аддитивной записи):

Если и то отображение является дискретным нормированием на поле К, наз. существенным нормированием поля К. Гомоморфизм j продолжается до гомоморфизма y: где y(c)=(c), содержащегося в точной последовательности

Здесь U(А)группа единиц кольца А, а группа С(А) наз. группой классов дивизоров кольца А(или поля К). Два Д., принадлежащие одному смежному классу по подгруппе главных Д., наз. эквивалентными (в алгебраической геометрии, где рассматривается целый ряд других эквивалентностей для Д., эта эквивалентность называется линейной).

Теория Д. существует для всякого дедекиндова кольца, в частности, для колец целых элементов в полях алгебраич. чисел, причем в этом случае элементы D0 находятся во взаимно однозначном соответствии с ненулевыми идеалами кольца А (Д. а при этом соответствует идеал всех элементов А, делящихся на а). По этой причине в дедекиндовых кольцах группу Д. наз. также группой идеалов, а группу классов Д.группой классов идеалов.

Группа классов Д. поля алгебраич. чисел конечна, и с вычислением ее порядка (числа классов) и структуры связаны многие задачи алгебраической теории чисел (см. [2]).

продолжение Девизор...

Более общо, теория Д. существует для Крулля колец (см. [11]). В этом случае роль D0 играет полугруппа дивизориальных идеалов кольца, а роль Dиграет группа дробных дивизориальных идеалов.

Обобщением понятия дробного дивизориального идеала коммутативного кольца на случай алгебраич. многообразия или аналитич. ространства служит понятие дивизора Вейля. Так называется целочисленная формальная конечная линейная комбинация SnWW неприводимых замкнутых подпространств Wв Xкоразмерности 1. Дивизор Вейля наз. положительным, или эффективным, если все Все дивизоры Вейля образуют группу Z¹(X)(группа дивизоров Вейля). В случае, когда Xгладкое алгобраич. многообразие, понятие дивизора Вейля совпадает с понятием алгебраического цикла коразмерности 1.

Если Анётерово кольцо Крулля, то каждый простой дивизориальный идеал pв Аопределяет подпространство V(p)коразмерности 1 в схеме X=Spec(A), a каждый Д. может быть отождествлен тем самым с дивизором Вейля

Пусть Xнормальная схема, а f мероморфная функция на X. Каноническим образом определяется главный дивизор Вейля:

Здесь nW есть значение дискретного нормирования кольца OX,W общей точки подмногообразия Wна представителе f в OX,W Если

где nW⁺>0, а nW^-<0, то дивизор Вейля (f)0=SnW⁺W наз. дивизором нулей, а SnW^-W дивизором полюсов функции f. Множество главных дивизоров Вейля является подгруппой Z¹p(X)группы Z¹(X). Факторгруппа Z¹(X)/Z¹P(X)обозначается С(Х)и наз. группой классов дивизоров схемы X. Если X=Spec А, где Анётерово кольцо Крулля, то С(Х)совпадает с группой классов Д. кольца A,

Пусть Кполе алгебраич. функций. Д. поля Кназ. иногда формальные конечные целочисленные комбинации дискретных нормирований ранга 1 поля К. Если Кесть поле алгебраич. функций от одной переменной, то каждый такой Д. может быть отождествлен с дивизором Вейля его полной неособой модели.

Пусть Xрегулярная схема или комплексное многообразие и D=SnWW дивизор Вейля. Для любой точки существует такая открытая окрестность U, что ограничение Dна U

является главным Д. (fU). для нек-рой мероморфной функции fU на U. Функция fU определена однозначно о точностью до обратимой функции на Uи наз. локальным уравнением Д. Dв окрестности V, а соответствие определяет сечение пучка Вообще, дивизором Картье на окольцованном пространстве (X, OX )называется глобальное сечение пучка (пучка ростков дивизоров). Здесь М X обозначает пучок ростков мероморфных (или рациональных) функций на X, т. е. пучок, сопоставляющий каждому открытому полное кольцо частных кольца Г(U, OX), а М и O*Xпучки обратимых элементов в М X и OX соответственно. Дивизор Картье можно задавать набором локальных уравнений

где {Ui} открытое покрытие X, причем на , функция fi/fj должна быть сечением пучка O*X . В частности, мероморфная функция f определяет Д. div(f), наз. главным. Множество таких, что (fi)x П O*X,x , наз. носителем дивизора. Дивизоры Картье образуют абелеву группу Div(X), а главные Д.ее подгруппу Divl(X). Каждый Д.определяет обратимый пучок содержащийся в М X:. если Dтредставлен локальными уравнениями fi на покрытии {Ui}, то

Сопоставление является гомоморфизмом группы Div(X) в Пикара группу

Этот гомоморфизм включается в точную последовательность

получающуюся из точной последовательности пучков

Таким образом, ker d=Divl(X). Если D-D' есть главный Д., то Dи D' наз. линейно эквивалентным и. Если Xквазипроективное алгебраич. многообразие или комплексное пространство Штейна, то гомоморфизм б:сюръективен и индуцирует изоморфизм группы классов линейно эквивалентных Д. Div (X)/Divl(X)на группу Пикара Pic(X).

Если Xкомплексное пространство, то вопрос о том, когда данный Д. является главным, есть вторая Кузена проблема. Напр., на комплексном пространстве Штейна (X, O )группа классов Д. тривиальна тогда и только тогда, когда Н ²( Х,Z)=0.