Математическая энциклопедия - схема

окольцованное пространство, локально изоморфное аффинной схеме. Подробнее, С. состоит из топологич. пространстна X (базисного пространства схемы) и пучка коммутативных колец с единицей на Х (структурного пучка схемы); при этом должно существовать открытое покрытие пространства X такое, что изоморфно аффинной схеме кольца сечений над Xi. С.одно из обобщении понятия алгебраического многообразия. О формировании понятия С. см. [2], [3], [5].

Основные понятия и свойства. Пусть С. Для каждой точки слой пучка является локальным кольцом; поле вычетов этого кольца обозначается k(x) и наз. полем вычетов точки х. Топологич. свойствами С. наз. свойства базисного пространства А (напр., квазикомпактность, связность, неприводимость). Если Р - нек-рое свойство аффинных С. (то есть свойство колец), то говорят, что С. локально обладает свойством Р, если любая ее точка имеет открытую аффинную окрестность, обладающую этим свойством. Примером является свойство локальной нётеровости (см. Нётерова схема). С. регулярна, если все ее локальные кольца регулярны. Аналогично определяются нормальные, приведенные С., схемы Коэна Маколея и т. д.

Морфизм схем это морфизм их как локально окольцованных пространств. Иначе говоря, морфизм f С. А в С. . состоит из непрерывного отображения и гомоморфизма пучков колец причем для любой точки гомоморфизм локальных колец должен переводить максимальный идеал в максимальный. Для любого кольца Аморфизмы С. X в Spec Анаходятся в биективном соответствии с гомоморфизмами колец Для любой точки вложение ее в X также можно рассматривать как морфизм С. Важным свойством является существование в категории С. прямых и расслоенных произведений, обобщающих понятие тензорного произведения колец. Базисное топологич. пространство произведения С. X и Yотличается, вообще говоря, от произведения базисных пространств

С. X, снабженная морфизмом f в схему S, наз. S- схемой, или схемой над S. Морфизмом S - схем в наз. морфизм для к-рого f=goh. Любую С. можно рассматривать как С. над Задание морфизма замены базы позволяет переходить от S-схемы X к S'-схеме расслоенному произведению Xи S'. Если базисная схема . является спектром кольца k, то говорят также о k-схеме. k-схема наз. k-cхемой конечного типа, если существует конечное аффинное покрытие схемы X такое, что k-алгебры порождаются конечным числом элементов. Алгебраическим многообразием обычно наз. С. конечного типа над полем, требуя иногда отделимость и целостность. Рациональной точкой k-схемы X наз. морфизм k-схем множество таких точек обозначается X(k).

Для S-схемы и точки слоем морфизма f над s наз. k(s)-схема f^-1(s)=Xs , получаемая из X заменой базы Если вместо поля k(s)вэтом определении взять его алгебраич. замыкание, то получится понятие геометрического слоя. Тем самым S-схема X может рассматриваться как семейство схем Xs, параметризованное схемой S;часто, говоря о семействах, требуют дополнительно, чтобы морфизм f был плоским.

Понятия, связанные со схемами над S, часто наз. относительными в противоположность абсолютным понятиям, связанным со С. Фактически у каждого понятия, применимого к С., есть относительный вариант. Напр., S-схема X наз. отделимой, если диагональное вложение является замкнутым; морфизм наз. гладким, если он плоский и все его геометрич. слои регулярны. Аналогично определяются морфизмы: аффинный, проективный, собственный, конечный, этальный, неразветвленный, конечного типа и т. д. Свойство морфизма наз. универсальным, если оно сохраняется после любой замены базы.

Когомологии схем. Исследование схем, а также алгебро-геометрич. объектов, связанных со С., часто удается разбить на две задачи локальную и глобальную. Локальные задачи обычно линеаризуются и данные их описываются теми или иными когерентными пучками или комплексами пучков. Напр., при изучении локального строения морфизма важную роль играют пучки относительных дифференциальных форм. Глобальная часть обычно связана с когомологи-ями этих пучков (см., напр., Деформация алгебраического многообразия). Здесь бывают полезны конечности теоремы и теоремы об обращении в нуль когомологий (см. Кодаиры теорема), двойственность, Кюннета формулы, Римана Роха теорема и т. д.

С. конечного типа над полем может рассматриваться и как комплексное аналитическое пространство. Используя трансцендентные методы, можно вычислять когомологии когерентных пучков; более важно, однако, что можно говорить о комплексной, или сильной, топологии на фундаментальной группе, числах Бетти и т. д. Желание иметь нечто подобное для произвольных схем и глубокие арифметич. гипотезы (см. Дзета-функция в алгебраической геометрии) привели к построению различных топологий в категории схем, наиболее известной из к-рых является эталъная топология. Это позволило определить фундаментальную группу С., другие гомотопич. инварианты, когомологии со значениями в дискретных пучках, числа Бетти и т. д. (см. l-адические когомологии, Вейля когомологии, Мотивов теория).

Конструкции схем. Чаще всего построение конкретной С. использует понятия аффинного или проективного спектра (см. Аффинный морфизм, Проективная схема), включая задание подсхемы пучком идеалов. Конструкция проективного спектра позволяет, в частности, строить раздутие, или моноидальное преобразование схем. Для построения С. используются также расслоенное произведение или склеивание. Менее элементарные конструкции опираются на понятие пред-ставимого функтора. Располагая хорошим понятием семейства объектов, параметризованных С., и сопоставляя каждой С. . множество F(S)семейств, параметризованных схемой S, получают контравариантный функтор Fиз категории С. в категорию множеств (снабженных, быть может, дополнительной структурой). Если функтор . представим, т. е. существует С. А такая, что F(S)= Hom (S,X )для любого S, то получается универсальное семейство объектов, параметризованное С. А. Так строятся, напр., Пикара схема или Гильберта схема (см. также Алгебраическое пространство, Модулей теория).

Еще один способ порождения новых С.переход к факторпространству по отношению эквивалентности на С. Как правило, такой фактор существует как алгебраич. пространство. Частный случай этой конструкции С. орбит X/G при действии схемы групп Gна схеме X (см. Инвариантов теория).

Одно из обобщений понятия С.формальная С., к-рую можно понимать как индуктивный предел С. с одним и тем же базисным топологич. пространством.

Лит.:[1] Grоthendiесk A., Dieudоnne .)., Elements de geometrie algebrique, t. 1, В.-Hdlb.-N. Y., 1971; [2] ДьeдоunсЖ., лМатематика

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985