Математическая энциклопедия - связность

на расслоенном пространстве дифференциально-геометрическая структура на гладком расслоенном пространстве со структурной группой Ли, обобщающая связности на многообразии, в частности, напр., Леви-Чивита связность в римановой геометрии. Пусть является гладким локально тривиальным расслоением, на типовом слое Fк-рого эффективно и гладко действует группа Ли G. С. в этом расслоении это отображение категории кусочно гладких кривых базы Вв категорию диффеоморфизмов слоя на слой, к-рое кривой L=L(x0, х1). с началом х 0 и концом х 1 сопоставляет диффеоморфизм и удовлетворяет следующим аксиомам:

1) при и справедливы

2) при произвольном тривиализующем диффеоморфизме и при диффеоморфизм , где ,

определяется действием нек-рого элемента ;

3) для нек-рой кусочно гладкой параметризации отображение , где

Lt образ отрезка [0, t]при l, определяет кусочно гладкую кривую в G, начинающуюся в единице , причем и с общим ненулевым касательным вектором определяют пути в G с общим касательным вектором , гладко зависящим от x0 и X.

Диффеоморфизм ГLназ. параллельным перенесением вдоль L. Параллельные перенесения вдоль всевозможных замкнутых кривых L(х 0, х0 )составляют голономии группу связности Г в точке х 0, изоморфную нек-рой подгруппе Ли в G, независящей от х 0. Кривая

(у 0, у 1 )в Еназ. горизонтальной для связности Г, если для любого при нек-рой ее кусочно гладкой параметризации. Если заданы L(x0, х1 )и , то всегда существует единственная горизонтальная , наз. горизонтальным п о д н я т и е м кривой L, такая, что ; она состоит из . Множество горизонтальных поднятий всех Lв Вопределяет связность Г однозначно: ГLотображает концы всех поднятий кривой Lв их начала.

С. наз. линейной, если qj ( х, X )при произвольных j и хзависит от Xлинейно или, что равносильно, если для любой касательные векторы горизонтальных кривых с началом уобразуют в Т у (Е)векторное подпространство , наз. горизонтальным подпространством. При этом , где Fy - слой, проходящий через у, то есть Fy=p^-1 (р(у)). Гладкое распределение наз. горизонтальным распределением линейной связности Г. Оно определяет Г однозначно: горизонтальными поднятиями являются его интегральные кривые.

Расслоенное пространство Еназ. главным (соответственно пространством однородного типа) и обозначается Р(соответственно Q), если Gдействует на Fпросто транзитивно (соответственно транзитивно), т. е. если для произвольных существует точно один (соответственно существует) элемент , к-рый переводит z в z'. Пусть Gдействует на Fслева; тогда на Ропределяется ее естественное правостороннее действие, в к-ром gопределяет . При этом Qотождествимо с фактормногоооразием P/H, составленном из орбит yo Н, где Н - стационарная подгруппа нек-рой точки из F=G/H. Общее Еотождествимо с фактормногообразием орбит относительно действия, определяемого формулой

Гладкое распределение на Рявляется горизонтальным распределением нек-рой линейной С. (к-рую оно определяет однозначно) тогда и только тогда, когда