Математическая энциклопедия - связности объект

дифференциально-геометрический объект на гладком главном расслоенном пространстве Р, спомощью к-рого задается горизонтальное распределение связности в Р. Пусть R0 (Р)является расслоением всех таких реперов в касательных к Рпространствах, что первые r векторов е 1, . . ., е r касательны к слою и порождаются определенными r базисными элементами в алгебре Ли структурной группы G пространства Р, r=dimG. С. о. составляют тогда функции на R0 (Р)такие, что подпространство распределения натянуто на векторы (r, s=1,. . ., r; i, j,. . . = r+1,. . ., r+n). Условия, к-рым должны удовлетворить функции на R0 (Р), чтобы они составили С. о., следующие:

(1)

Они выражены с помощью 1-форм на R0 (Р), входящие в структурные уравнения для форм wⁱ, w^r, составляющих дуальный кобазис к { е i еr}:

(2)

С. о. определяет также связности формуq согласно формуле и кривизны формусогласно формулам

Напр., пусть Рявляется пространством аффинных реперов в касательных пространствах n-мерного гладкого многообразия М. Тогда вторые из уравнений (2) имеют вид

и (1) сводятся к

При параллельном перенесении должно быть . Если на Мвыбрана локальная карта и в ее области сделан переход к натуральному реперу карты, то и параллельное перенесение определяется с помощью . Классич. определение С. о. аффинной связности на Мкак совокупности функций , заданных на области каждой карты и преобразующихся при переходе к координатам другой карты по формулам

следует из условия инвариантности перенесения.

Ю. Г. Лумисте.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985