Математическая энциклопедия - связности на многообразии

дифференциально-геометрические структуры на гладком многообразии М, являющиеся связносгпями в приклеенных к Мгладких расслоенных пространствах Ес однородными типовыми слоями G/Н размерности dim М. В зависимости от выбора однородного пространства G/Нполучаются, напр., аффинные связности, проективные связности, конформные связности и др. на многообразии М. Общее понятие С. на м. ввел Э. Картан [1]; он назвал многообразие Мс заданной на нем связностью "неголономным пространством с фундаментальной группой".

Современное определение С. на м. опирается на понятие гладкого расслоенного пространства, приклеенного к многообразию М. Пусть F=G/Нявляется однородным пространством размерности dim М(напр., аффинным пространством, проективным пространством и т. п.). Пусть является гладким локально тривиальным расслоением с типовым слоем Fи пусть в этом расслоении существует и фиксировано гладкое сечение s, т. е. такое гладкое отображение , что р(s(х))=х для любого . Последнее условие гарантирует, что s является диффеоморфизмом Мна s (М), и поэтому Ми s(М)можно при желании отождествлять. Другими словами, к каждой точке присоединен экземпляр F х однородного пространства Fразмерности dimM слой расслоения над х- с фиксированной в ней точкой s(х), отождествляемой с х.

С. на м. является частным случаем общего понятия связности; самостоятельно она может быть определена следующим образом. Пусть для каждой кусочно гладкой кривой L(х 0, х1 )многообразия Мопределен изоморфизм касательных однородных пространств в концах кривой (напр., если Fявляется аффинным, проективным и т. д. пространством, то Г L - соответственно аффинное, проективное и т. д. отображение). Пусть, кроме того:

1) при справедливы Г L^-1= (ГL)^-1, Г(LL')=(ГL)(Г L');

2) для каждой точки и касательного вектора изоморфизм , где Lt образ отрезка [0, t]при параметризации кривой Lскасательным вектором X, стремится при к тождественному изоморфизму, и его отклонение от последнего зависит в своей главной части только от хи X, причем гладко.

В этом случае говорят, что на многообразии Мдана связность Г типа F;изоморфизм ГLназ. параллельным перенесением вдоль L. Для каждой кривой определяется ее р а з в е р т к а: кривая в F х, состоящая из образов точек х t кривой Lпри параллельном перенесении вдоль Lt. Из 2) следует, что кривые с общим касательным Xв точке хдают развертки с общим касательным вектором Y, гладко зависящим от хи X, вследствие чего для каждой точки хвозникает отображение

Наиболее изучены линейные С. на м., к-рые обладают следующим дополнительным свойством:

3) элемент w (X)в алгебре Ли g структурной группы G, к-рый определяет главную часть отклонения изоморфизма Г Lt от тождественного изоморфизма при относительно нек-рого поля реперов, зависит от Xлинейно.

В этом случае отображение f х является линейным. Если fx оказывается изоморфизмом для любой точки х, то говорят о невырожденной С. на м. или о связности Картана; в этом случае изоморфизм трактуется также как приклеивание расслоения р: кбазе М(вдоль заданного сечения S). Связность Картана на Мназ. п о л н о й, если для каждой точки хвсякая гладкая кривая в F х с началом в хявляется разверткой нек-рой кривой в М.

С точки зрения общей теории связностей, где линейная связность в расслоении задается с помощью горизонтального распределенияна Е, отображение f х является композицией изоморфизма s*, отображающего Xв соответствующий касательный к s(М)вектор, и последующей проекции пространства на второе прямое слагаемое. Отсюда следует, что связность невырождена тогда и только тогда, когда для любой точки . На Мприменимы все понятия и результаты общей теории связностей, напр. такие, как голономии группа, кривизны форма, теорема о голономии и др. Дополнительная структура расслоения, приклеенного к многообразию М, позволяет, однако, ввести нек-рые более специальные понятия. Кроме развертки наиболее важным из них является понятие кручения формы, связности на Мв точке х.

Особое место в теории С. на м. занимают связности Картана в случае, когда F=G/Н является однородным редуктивным пространством, т. е. когда существует прямое разложение g=h+т со свойством . В этом случае происходит расщепление формы кривизны на два самостоятельных объекта: ее компонента в тпорождает форму кручения, а компонента в hпорождает форму кривизны. Здесь наиболее известным примером является аффинная связность на М, у к-рой Fявляется аффинным пространством размерности dim М.

Редуктивное пространство Fобладает инвариантной аффинной связностью. Вообще, если на Fсуществует инвариантная аффинная или проективная связность, то определяются геодезические линии связности типа Fна Мкак такие линии в М, развертки к-рых являются геодезич. линиями указанной инвариантной связности. Лит.:.[1] C a r t a n E., "Асtа math.", 1926, t.48, р. 1 42 (в рус. пер. К а р т а н Э., Группы голономии обобщенных пространств, пер. с франц., Казань, 1933); [2] Лаптев Г. Ф., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1953, т. 2, с. 275-382; [3] E h r e s m a n n C., Coll. de Topologie (Bruxells, 1950), Р., 1951, р. 29-55; [4] K o b a y a s h i S., "Canad. J. Math.", 1956, v. 8, N 2. р. 145-156; [5] C l i f t o n Y. H., "J. Math. and Mech.", 1966, v. 16, № 6, р. 569-76. Ю. Г. Лумисте.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985