Математическая энциклопедия - структура

1) С., математическая структура,родовое название, объединяющее понятия, общей чертой к-рых является то, что они применимы к множествам, природа элементов к-рых но определена. Чтобы определить С., задают отношения, в к-рых находятся элементы множества (типовая характеристика С.), затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют условиям аксиомам С.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Очерки по истории математики, пер. с франц., М., 1963; [2] его же, Теория множеств, пер. с франц., М., 1965.

М. И. Войцеховский.

2) С.то же, что решетка.

3) С. на многообразии, геометрическая величина, поле геометрических объектов,сечение расслоения, ассоциированного с главным расслоением коронеров многообразия М. Интуитивно геометрич. величину можно рассматривать как величину, значение к-рой зависит не только от точки хмногообразия М, но и от выбора ко репера инфинитезимальной системы координат в точке х(см. Карта).

Более подробно, пусть GL^k(n) - общая дифференциальная группа порядка k(группа k-струй в нуле преобразований пространства сохраняющих начало координат), Mkмногообразие кореперов порядка k n -мерного многообразия М(т. е. многообразие k-струй локальных карт с началом в точке х=и^-1(0)).Группа GL^k(n)действует слева на многообразии Mk по формуле

и это действие определяет в М k структуру главного GL^k(n)-расслоения называемого расслоением кореперов порядка k. Пусть W - произвольное GL^k(n)-многообразие, т. е. многообразие с левым действием группы GL^k(n). Пусть, наконец, W(M)пространство орбит левого действия группы GL^k(n)в а его естественная проекция на М. Расслоение (ассоциированное с Mk и W )наз. расслоением геометрических структур порядка и типа W, а его сечения структурами типа W. С. типа . находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с GL^k(n)-эквивариантными отображениями Таким образом, С. типа Wможно рассматривать как W-значную функцию Sна многообразии Mk k -реперов, удовлетворяющую следующему условию эквивариантности:

Расслоение геометрич. объектов является естественным расслоением в том смысле, что группа диффеоморфизмов многообразия Мдействует как группа автоморфизмов

Если Wесть векторное пространство с линейным (соответственно аффинным) действием группы GL^k(n). то С. типа Wназ. линейными (соответственно аффинными).

Основными примерами линейных С. 1-го порядка являются тензорные С., или тензорные поля. Пусть и пространство тензоров типа ( р, q )с естественным тензорным представлением группы GL^l(n) GL(n). С. типа наз. тензорным полем типа ( р, q). Ее можно рассматривать как вектор-функцию на многообразии кореперов М 1, сопоставляющую кореперу

набор координат тензора относительно стандартного базиса пространства При линейном преобразовании корепера координаты преобразуются по тензорному представлению:

Важнейшим примером тензорных С. являются векторное поле, дифференциальная, форма, риманова метрика, симплектическая структура, комплексная структура и, более общо, аффинор. Все линейные С. (любых порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевского [4]. Примером аффинной С. 2-го порядка служит аффинная связность без кручения, к-рую можно рассматривать как С. типа , где ядро естественного гомоморфизма рассматриваемое как векторное пространство с естественным действием группы Широким и важным классом С. является класс инфинитезимально однородных структур, или G-структур, - структур типа W, где W=GL^k(n)/G однородное пространство группы GL^k(n).

Приведенное выше определение С. оказывается недостаточно общим и не охватывает ряд важных геометрич. С. спинорную С., симплектическую спинорную С. и др. Естественное обобщение состоит в рассмотрении обобщенных G-структур главных расслоений, гомоморфно отображающих на G-структуру, и сечений ассоциированных с ними расслоений.

Лит.:[1] Рашевский П., лТр. сем. по вект. и тенз. анализу...

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985