Математическая энциклопедия - структурно упорядоченная группа

решеточно упорядоченная группа, lгруппа,группа G, на множестве элементов к-рой задано отношение частичного порядка обладающее свойствами: 1) G - решетка относительно т. е. для любых существуют элементы такие, что и для любого выполнено и для любого и выполнено 2) для любых неравенство влечет за собой Эквивалентным образом С. у. г. может быть определена как алгебраич. система в сигнатуре удовлетворяющая аксиомам: 3) группа; 4) решетка; 5) и для любых

Решетка элементов С. у. г. дистрибутивна. Модулем (соответственно положительной и отрицательной частью) элемента хназ. элемент (соответственно и В С. у. г. верны соотношения:

Элементы хи у наз. ортогональными, если Ортогональные элементы перестановочны. Подмножество H l-группы Gназ. l-подгруппой, если Н подгруппа и подрешетка в G; l -подгруппа H наз. l- идеалом С. у. г. G, если она нормальна и выпукла в G. Множество l-подгрупп С. у. г. образует подрешетку решетки всех ее подгрупп. Решетка l-идеалов С. у. г. дистрибутивна. l - гомоморфизмом l-группы Gв l-группу H наз. гомоморфизм Ф группы Gв группу H такой, что

Ядрами l-гомоморфизмов являются в точности l-идеалы l-групп. Если Gесть l-группа, то множество для всякого является выпуклой l-подгруппой в G.

Группа A(L)взаимно однозначных сохраняющих порядок отображений линейно упорядоченного множества L на себя есть l-группа (если для положить тогда и только тогда, когда для любого , Всякая l-группа l-изоморфна l-подгруппе С. у. г. A(L) для нек-рого подходящего множества L.

Класс всех С. у. г. является многообразием сигнатуры Важнейшее его подмногообразиекласс С. у. г., аппроксимирующихся линейно упорядоченными группами (класс представимых l -групп).

Лит.:[1] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [2] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраич. системы, пер. с англ., М., 1965.

В. М. Копытов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985