Математическая энциклопедия - координаты

числа, величины, по к-рым находится (определяется) положение какого-либо элемента (точки) в некоторой совокупности (множестве М), например на плоскости поверхности, в пространстве, на многообразии. В ряде разделов математики и физики К. именуются по-другому, напр. К. элемента (вектора) векторного пространства наз. его компонентами, К. в произведении множеств проекции на один из его сомножителей, в теории относительности системы К.это системы отсчета, и т. п. Часто встречается ситуация, когда ввести достаточно разумные и удобные К. глобально на всем множестве невозможно (напр., точкам сферы в отличие от плоскости нельзя взаимно однозначно и непрерывно сопоставить пары чисел), и тогда вводят понятие локальных координат. Таково, напр., положение в теории многообразий.

Совокупность К. организуется в систему координат (систему отнесения, систему референци и), или карту, причем К. взаимно однозначно соответствуют элементам множества М. В этом основа метода координат, истоками к-рого принято считать работы П. Ферма (P. Fermat, 1636) и Р. Декарта (R. Descartes, 1637). Впрочем, еще Аполлоний Пергский (3-2 вв. до н. э.) определял ко-нич. сечения с помощью того, что сейчас [следуя Г. Лейбницу (G. Leibniz, 1694)] называют К., хотя числовых значений они не имели. Но широта и долгота в "Географии" Птолемея (2 в. н. э.) были уже числовыми К. В 14 в. Н. Орем (N. Oresme) пользовался К. на плоскости для построения графиков, называя долготой и широтой то, что теперь называется абсциссой и ординатой.

Попытки обойтись без введения К. извне, сохранить, так сказать, "чистоту" теории, себя не оправдали [напр., синтетические конструкции проективных координат, культивировавшиеся К. Штаудтом (Ch. Staudt, 1847), оказалось возможным заменить простыми алгебраич. эквивалентами, что привело к понятию проективной геометрии над телом]. Впрочем не пропал вкус и, так сказать, к внутреннему способу введения К. (в отличие от внешнего способа привнесения К. извне), основанному на оценке положения координируемого объекта относительно нек-рых, выбранных a priori стандартных подмножеств, напр. линий поверхностей и т. п. (называемых в этом случае координатными линиями, поверхностями и т. п.). Это в особенности относится к множествам, в определении к-рых участвуют числа (напр., мет-рич. и векторные пространства), т. е. к весьма обширному и практически важному классу математич. объектов, чем и объясняется их широкое распространение.

Среди систем К. точек (точечных К.) выделяют т. н. линейные координаты, в к-рых координатными линиями служат прямые. Таковы, напр., декартова прямоугольная система координат, треугольные К. (см. Тетраэдральные координаты), барицентрические координаты, проективные координаты. Системы К., для к-рых не все координатные линии прямые, наз. криволинейными координатами. Такие К. используются как на плоскости (напр., полярные координаты, эллиптические координаты, параболические координаты, биполярные координаты), так и на поверхностях ( геодезические координаты, изотермические координаты и др.). Многие специальные виды систем криволинейных К. вводятся при использовании сетей линий, отвечающих тем или иным условиям. Из них наиболее важный класс ортогональные системы координат, в к-рых координатные линии пересекаются под прямым углом.

Различные виды К. на плоскости (или на поверхности) обобщаются на случай пространства. Напр., понятие полярных К. на плоскости приводит к понятию полярных К. в пространстве ( сферических координатн цилиндрических координат);понятие биполярных К. на плоскости к понятиям тороидальных координат, бицилиндрических координат и биполярных К. в пространстве; понятие эллиптических К. на плоскости к понятию эллипсоидальных координат в пространстве.

Иногда потребности удобства и наглядности приводят к отступлению от равенства количества чисел, являющихся К. точек множества и его размерностью. По тем же причинам допускается нарушение в отдельных точках взаимной однозначности координатного отображения (таковы, напр., полярные К.).

В тех случаях, когда изучаемое многообразие Мнегомеоморфно области евклидова пространства, бывает удобно использовать избыточные К., в к-рых число К. больше размерности М. Такие К., как правило,однородные координаты.

Часто говорят о К. прямых, плоскостей и других геометрич. объектов, понимая под этим К. в каком-либо пространстве, точками к-рого являются прямые, плоскости и т. д. (см., напр., Грассмана многообразие). Равноправие точек и прямых в геометрии двух измерений и равноправие точек и плоскостей в геометрии трех измерений согласно двойственности принципу позволяют ввести К., спомощью к-рых могут быть определены положения прямых и плоскостей. Таковы, напр., тангенциальные координаты.

Метод К. стал полезным не только на пути алгоритмизации рассуждений (сведению их к вычислениям), но и для обнаружения новых фактов и связей (так, напр., непротиворечивость евклидовой геометрии посредством К. сводится к непротиворечивости арифметики). И хотя ряд разделов математики, напр. риманова геометрия, может быть изложен в "бескоординатном" виде, конкретные результаты чаще добываются методом К., а точнее, выбором удобных для данной задачи координатных систем (напр., выразительность ряда задач механики достигается именно в специальных К., в к-рых "разделяются" переменные).

М. И. Войцеховский, А. Б. Иванов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985