Математическая энциклопедия - покрытие

множества X - любое семейство подмножеств этого множества, объединение к-рого есть X.

1) Под П. топологического пространства, равномерного пространства и вообще какого-либо множества, наделенного тем или иным строением, понимают произвольное П. этого множества. Однако в теории топологич. пространств особенно естественно рассматривать открытые покрытия, то есть П., все элементы к-рых являются открытыми множествами. Большое значение открытых П. вызвано тем, что их элементы несут в себе полную информацию о локальном строении пространства, а свойства П. в целом (в частности, число элементов в нем, кратность, комбинаторные свойства) отражают существенно глобальные характеристики пространства.

Так, на языке открытых П. определяется размерность по Лебегу dim топологич. пространства: размерность нормального пространства Xне превосходит натурального числа п, если в каждое конечное открытое П. этого пространства можно вписать конечное открытое П., кратность к-рого в каждой точке (т. е. число элементов П., содержащих данную точку) не превосходит n+l. Отношение вписанности одного П. в другое является основным общим элементарным отношением между П. Семейство множеств у вписано в семейство множеств l, если каждый элемент семейства у содержится в нек-ром элементе семейства l. На языке открытых II. определяется класс паракомпактных пространств.

Подпокрытием покрытия g множества Xназ. всякое подсемейство семейства g, само являющееся П. множества X. В терминах подпокрытий определяются фундаментальные понятия бикомпактно-сти, счетной и финальной компактности. Пространство бикомпактно, если из каждого его открытого П. можно выделить конечное подпокрытие. Пространство счетно компактно, если из каждого его счетного открытого П. можно выделить конечное подпокрытие. Пространство финально компактно, если из каждого его открытого П. можно выделить счетное подпокрытие. С помощью открытых П. определяются абстрактные комбинаторные объекты, открывающие дорогу применению алгебраич. методов к исследованию топологич. пространств, более общих, чем полиэдры. П. С. Александров определил фундаментальное понятие нерва произвольного покрытия g как абстрактного комплекса, вершины к-рого поставлены во взаимно однозначное соответствие с элементами покрытия g и конечный набор этих вершин составляет абстрактный симплекс в том и только в том случае, если пересечение отвечающих этим элементам покрытий g не пусто. Системам открытых П. пространства, взятых вместе с отношением вписанности, отвечают системы абстрактных комплексов, связанных симшшциалъными отображениями,т. н. спектры комплексов.

Заметную роль в топологии играют и замкнутые покрытия то есть П., все элементы к-рых являются замкнутыми множествами. Если в топологич, пространстве все одноточечные множества замкнуты, то примером замкнутого П. этого пространства может служить семейство всех его одноточечных подмножеств. Но в таком П. не заключено никакой информации о топологии рассматриваемого пространства, кроме той, что в нем выполнена T1 -аксиома отделимости. Поэтому требование замкнутости П. следует соединять с другими существенными ограничениями. В частности, полезно рассматривать замкнутые локально конечные П. Они существенны в теории размерности. Важным примером замкнутого П. является П. полиэдра замкнутыми симплексами какого-нибудь подразделяющего этот полиэдр комплекса.

Среди ограничений на П., связанные не с характером элементов, а с их расположением, наиболее часто встречаются следующие. Мощность П.число элементов в нем, локальная конечность (у каждой точки пространства есть окрестность, пересекающаяся с конечным множеством элементов семейства подмножеств этого пространства), точечная конечность (означающая, что множество элементов П., содержащих произвольно взятую точку, конечно), звездная конечность (каждый элемент П. пересекается лишь с конечным числом элементов этого П.).

Семейство множеств в топологич. пространстве наз. консервативным, если замыкание объединения любого его подсемейства равно объединению замыканий элементов этого подсемейства. Каждое локально конечное семейство множеств консервативно. Консервативные П. возникают при исследовании паракомпактных пространств, при этом важны и не тривиальны не только открытые, но и любые консервативные П.

Важную роль играет понятие звезды точки хотносительно семейств множеств (в частности, покрытий) g. Это объединение всех элементов семейства g, содержащих х, обозначаемое обычно Stg(x). Аналогично определяется звезда Stg (А).множества Аотносительно семейства множеств g. На понятии звезды основано фундаментальное отношение звездной вписанности одного П. в другое, существенно более тонкое, чем отношение вписанности. Семейство множеств l, наз. звездно вписанным в семейство множеств g, если для каждой точки найдется элемент семейства g, содержащий звезду этой точки относительно l. Отношение звездной вписанности открытых П. имеет важное значение в теории размерности, на нем основаны нек-рые критерии метризуемости, оно является одним из основных элементарных понятий, входящих в определение равномерной структуры и равномерного пространства. Полезно рассматривать семейства Fоткрытых П. топологич. пространства, направленные отношением звездной вписанности в следующем смысле: для любых g1 и g2 из Fнайдется , звездно вписанное и в gl и в g2.

Представляет ценность следующая характеристика паракомпактности на языке звездной вписанности (теорема Мориты): хаусдорфово пространство паракомнактно в том и только в том случае, если в любое его открытое П. можно вписать открытое П. звездно.

Звездная вписанность в случае произвольных (или даже замкнутых) П. не столь содержательна. В частности, это видно из того, что семейство всех одноточечных подмножеств пространства звездно вписано в любое П. этого пространства.

Лит.:[1] Келли Д ж., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981; [2] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974. А. В. Архангельский.

2) В комбинаторной геометрии имеется ряд задач и предложений, относящихся к специальным П., в основном выпуклых множеств. Пусть К - выпуклое тело n-мерного векторного пространства , bd Ки int К - соответственно граница и внутренность К. Наиболее известны следующие задачи с П.

а) Ищется минимальное число t(K).транслятов (параллельных переносов) int К, при помощи к-рых можно покрыть тело К.

б) Ищется минимальное число b(К).гомотетичных Ктел с коэффициентом гомотетии k,0<k<1, при помощи к-рых можно покрыть тело К.

в) Ищется минимальное число d(K).гомотетичных Кмножеств с коэффициентом гомотетии k>1 и центром гомотетии в int К, при помощи к-рых можно покрыть тело К.

При ограниченности Кзадачи а) и б) эквивалентны между собой, эквивалентны освещения задаче (извне) множества bd Ки связаны с Хадвигера гипотезой. Для неограниченного Кзадачи а) и б), вообще говоря, различны, причем числа b(К).и t(K).могут быть бесконечными.

Лит.:[1] Данцер Л., Грюнбаум В., Кли В., Теорема Хелли и ее применения, пер. с англ., М., 1968; [2] Болтянский В. Г., Гохберг И. Ц., Теоремы и задачи комбинаторной геометрии, М., 1965; [3] их же, Разбиение фигур на меньшие части, М., 1971; [4] Xадвигер Г., Дебруннер Г., Комбинаторная геометрия плоскости, пер. с нем., М., 1965; [5] Роджерс К., Укладки и покрытия, пер. с англ., М., 1968; [6] Болтянский В. Г., Солтан П. С., Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств, Киш., 1978. П. С. Солтан.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985