Математическая энциклопедия - показательное распределение

непрерывное распределение вероятностей случайной величины X, задаваемое плотностью

(1)

Плотность р(х).зависит от положительного масштабного параметра l. Формула для моментов: , в частности для математич. ожидания и дисперсии ; характеристич. функция: (1-it/l)^-1.

П. р. входит в семейство распределений, называемых гамма-распределениями и задаваемых плотностью

n-кратная свертка распределения (1) равна гамма-распределению с тем же самым параметром lи с a=п. П. р.единственное распределение, обладающее свойством отсутствия последействия: для любых х>0, у>0 выполняется равенство

(2)

где Р{ Х>х+у|Х>у} - условная вероятность события X>x+y при условии X>y. Свойство (2) называется также марковским свойством.

В однородном пуассоновском процессе расстояние между двумя последовательными скачками траектории имеет П. р. Наоборот, процесс восстановления с показательным временем жизни (1) является пуассоновским процессом восстановления. П. р. часто возникает как предельное при суперпозиции или разрежении процессов восстановления, в задачах пересечения высокого уровня в различных схемах блуждания, в критических ветвящихся процессах и т. п.

Упомянутыми выше свойствами объясняется широкое применение П. р. при расчетах различных систем в теории массового обслуживания и в теории надежности. Предполагая времена занятости приборов случайными, независимыми друг от друга и распределенными показательно, можно благодаря свойству (2) изучать системы массового обслуживания с помощью конечных или счетных цепей Маркова с непрерывным временем. Аналогичным образом используются цепи Маркова и в теории надежности, где времена исправной работы отдельных приборов часто можно предполагать независимыми и распределенными показательно.

Лит.:[1] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1967.

Б.