Математическая энциклопедия - показательная функция

экспоненциальная функция, экспонента,функция

(где еоснование натуральных логарифмовненерово число), для любого значения z (действительного или комплексного) определяемая соотношением

(1)

Она обладает следующими свойствами:

при любых значениях z1 и z2.

При действительных хграфик П. ф. у=е ^х- експоненциальная кривая проходит через точку (0, 1) и асимптотически приближается к оси Ох (см. рис.).

В курсе математич. анализа рассматривается П. ф. у = а ^х при действительных хи a>0, ; она связана с (основной) П. ф. у=е ^х соотношением

П. ф. у-а ^х определена при всех х, положительна, монотонна (возрастает, если а>1, и убывает, если 0<а<1), непрерывна, бесконечно дифференцируема; при этом

в частности

в окрестности каждой точки П. ф. может быть разложена в степенной ряд, напр.:

(2)

График П. ф. у=а ^х симметричен графику П. ф. y=(1/a)^x относительно оси ординат. Если a>1, то П. ф. а ^х при возрастает быстрее любой степени х, а при стремится к нулю быстрее любой степени 1/х, т. е. при любом натуральном b>0

Обратной к П. ф. является логарифмическая функция.

При комплексных a и z П. ф. связана с (основной) П. ф. w=e^z формулой

где Ln a логарифм комплексного числа а.

П. ф. w=е ^z- целая трансцендентная функция и является аналитич. родолжением П. ф. у=е ^х с действительной оси в комплексную плоскость.

Помимо формулы (1), П. ф. может быть определена также с помощью ряда (2), сходящегося во всей комплексной плоскости, или по формуле Эйлера

если z= x+iy, ТО

П. ф. e^z- периодическая с периодом 2pi:

П. ф. е ^z принимает все комплексные значения, за исключением нуля: уравнение e^z=a имеет бесконечное число решений для любого комплексного числа Эти решения находятся по формуле

П. ф. e^z является одной из основных элементарных функций. Через нее выражаются, напр., тригонометрич. функции и гиперболич. функции. Ю. В. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985