Математическая энциклопедия - покрытия теоремы

теоремы для различных классов регулярных функций, устанавливающие нек-рые свойства таких множеств, к-рые целиком содержатся в множестве значений каждой функции соответствующего класса. Ниже приведены нек-рые из основных П. т. (см. также [1]).

Теорема 1. Если функция w=f(z)=z+a2z²+ ... регулярна и однолистна в круге |z|<l (то есть ), то круг |w|<¹/4 целиком покрывается образом круга |z|<1 при отображении этой функцией. На окружности |w|=¹/4 только в том случае имеются точки, но принадлежащие образу, если

Теорема 2. Если мероморфная функция w= однолистно отображает |z|>1, то вся граница образа лежит в круге

Теорема 3. Если , то по крайней мере одна из nближайших к w=0точек границы образа круга |z|<l при отображении w=f(z), лежащих на плюбых лучах, исходящих из w=0 под равными углами, отстоит от w=0 не ближе чем на

Теорема 4. Если , то в образе круга |z|<1 при отображении w=f(z) содержится множество, состоящее из n открытых прямолинейных отрезков с суммой длин, не меньшей п, исходящих из начала под равными углами величины 2p.

Для и удовлетворяющих в круге |z|<1 неравенству , имеют место П. т., аналогичные теоремам 1, 3 (с соответствующими постоянными). П. т. 1 и 3 переносятся и на класс функции w=f(z), регулярных и однолистных в кольце 1<|z|<r и отображающих его на области, лежащие в |w|>1, а окружность |z| = l -на окружность |w| = 1.

Для класса Rфункций w=f(z)=z+a2z²+..., регулярных в круге |z|<1, не существует круга |w|<r, r>0, целиком покрываемого значениями каждой из функций этого класса. Для функций регулярных в |z|<l, каждый образ этого круга целиком покрывает нек-рый отрезок любого заданного наклона, содержащий точку w=0 внутри, длиной не меньше А=8p²/Г ⁴(¹/4)=0,45 ..., причем число Анельзя увеличить без дополнительных ограничений. В этом же классе функций при условии, что в кольце 0<|z|<l, каждый образ круга |z|<l целиком покрывает круг |w|<¹/16, но не всегда покрывает больший круг с центром в w=0.

В классе Sp регулярных в |z|<1 функций f(z)=z^p(1+a1z+a2z²+...).таких, что каждое свое значение wони принимают не более чем в р точках круга |z|<l, имеет место аналог П. т. 1 с соответствующим кругом |w|<¹/2^{p + 1}. Если при этом a1=...=а р-1=0 или a1=... =a р=0, то соответствующими кругами будут |w|<¹/4 или |w|<¹/2. Аналогичные результаты имеют место для функций, р-листных в среднем по окружности, р-листных в среднем по площади и др. На класс Sp перенесена и П. т. 3.

См. также теорему Блоха в ст. Блоха константа.

Лит.:[1] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966.

Г. К. Антонюк.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985