Математическая энциклопедия - геометрия

часть математики, первоначальным предметом к-рой являются пространственные отношения и формы тел. Г. изучает пространственные отношения и формы, отвлекаясь от прочих свойств реальных предметов (плотность, вес, цвет и т. д.). В последующем развитии предметом Г. становятся также идругие отношения и формы действительности, сходные с пространственными. В современном общем смысле Г. объемлет любые отношения и формы, к-рые возникают при рассмотрении однородных объектов, явлений, событий вне их конкретного содержания и к-рые оказываются сходными с обычными пространственными отношениями и формами. Напр., рассматривают расстояния между функциями, отвлекаясь от того, каковы специальные свойства этих функций и какие реальные процессы эти функции описывают (см., напр., Метрическое пространство, Функциональный анализ).

Исторический очерк. Возникновение Г. относится к глубокой древности. Оно было обусловлено практик, потребностями (измерением земельных участков, объемов тел). Простейшие геометрия, сведения и понятия были известны еще древним египтянам (нач. 2-го тыс. до н. э.). Геометрич. утверждения формулировались тогда в виде правил, логич. доказательства к-рых либо отсутствовали, либо были примитивными. Начиная с 7 в. до н. э. и до 1 в. н. э., развитие Г. происходило в основном в Др. Греции. Здесь накапливались сведения о метрич. соотношениях в треугольниках, измерениях площадей и объемов, пропорциях и подобии фигур, конич. сечениях, задачах на построение. В то время появились уже сравнительно строгие логич. доказательства геометрич. утверждений. Собранием известных фактов Г. и их логической систематизацией явились "Начала" Евклида (ок. 300 до н. э.). В этом сочинении были сформулированы основные положения (аксиомы) Г., из к-рых при помощи логич. рассуждений выводились различные свойства простейших фигур на плоскости и в пространстве. Здесь впервые сложились основы аксиоматич. метода. Развитие астрономии и геодезии (1 2 вв. н. э.) привело к созданию плоской и сферич. тригонометрии.

Дальнейшее развитие Г., вплоть до 17 в., происходило не столь интенсивно. Возрождение наук и искусств в Европе способствовало развитию Г. Теория перспективы, задача к-рой состояла в изображении тел на плоскости (см. Начертательная геометрия), была в центре внимания художников и архитекторов. Эта потребность привела к зарождению проективной геометрии - раздела Г., в к-ром изучаются свойства фигур, инвариантные относительно так наз. проективных преобразований.

Совершенно новый подход к решению геометрнч. вопросов был предложен в 1-й пол. 17 в. Р. Декартом (R. Descartes). Им был создан метод координат, позволивший привлечь в Г. методы алгебры, а в последующем и анализа. Начиная с этого момента Г. бурно развивается. Появляется аналитическая геометрия, в к-рой методами алгебры исследуются кривые и поверхности, задаваемые алгебраич. уравнениями. Применение в 18 в. Л. Эйлером (L. Euler) и Г. Монжем (G. Monge) методов математич. анализа в Г. заложило основы классической дифференциальной геометрии. Ее ведущие разделы: теория кривых и теория поверхностейинтенсивно развивались и обобщались в работах К. Гаусса (С. Gauss) и др. геометров. В результате взаимодействия Г. с алгеброй и анализом в дальнейшем возникли специальные исчисления, удобные для использования в Г. и др. разделах математики ( векторное исчисление, тензорное исчисление, метод дифференциальных форм).

Разделы Г., не опирающиеся на методы алгебры и анализа и оперирующие непосредственно с геометрич. образами, получили назв. синтетической геометрии.

Предмет, основные разделы геометрии, связь с другими областями математики. Свои первоначальные шаги Г. делала как физич. наука, ее первые результаты описывали свойства физически наблюдаемых величин. Затем, до 2-й пол. 19 в., предметом Г. были отношения и формы тел пространства, свойства к-рого определялись аксиомами, сформулированными Евклидом (см. Евклидова геометрия). Пространство Евклида столь хорошо отражает простейшие физич. наблюдения, что до 19 в. оно как бы отождествлялось с физич. пространством. В 1826 Н. И. Лобачевский построил Г. (см. Лобачевского геометрия), в основу к-рой была положена система аксиом, отличающаяся от системы аксиом Евклида только аксиомой о параллельных прямых. В результате появилась логически непротиворечивая Г., существенно отличная от евклидовой. Стало ясно, что в математике возможно построение разнообразных пространств с содержательной Г. (см., напр., Неевклидовы геометрии). Наряду с этим сложилась идея многомерного пространства. Следующим новым шагом в Г. была идея Б. Римана (В. Riemann), к-рый в 1854 сформулировал обобщенное понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений и ввел пространства, измерение расстояний (метрика) в к-рых производится по нек-рому заданному закону "бесконечно малыми шагами". Иными словами, задается определенная функция, к-рая выражает длину пути точки через диффередциалы координат при малом ее смещении. Развитие идеи Римана привело к дальнейшим разнообразным обобщениям способов задания метрики и рассмотрению Г. соответствующих пространств (см. Риманово пространство, Финслеррво пространство). При исследовании физич. пространства, различных меха-нич. систем или вообще систем каких-либо однородных физич. объектов выбор подходящего математич. пространства и сопоставление его элементов-объектам изучаемой системы зависят от характера этой .системы. Качество такого математич. моделирования проверяется опытом. Разные объекты или одни и те же объекты при разной детальности исследования могут требовать разных пространств. В общей физич. теории пространства-времени-тяготения (см. Относительности теория).используется одна из разновидностей римановой Г.

Одним из стимулов развити-я и систематизации Г. явилась ее связь с теорией групп. Ф. Клейн (F. Klein) в эрлангенской программе(1872) так определил содержание Г.: дано многообразие и в нем группа преобразований. Требуется развить теорию инвариантов этой группы. Напр., теория инвариантов ортогональной группы определяет евклидову Г. В такую классификацию хорошо укладываются также аффинная геометрия, конформная геометрия, проективная геометрия. Но риманова Г. не может быть определена таким образом. В связи с этим Э. Картан (Е. Cartan) ввел пространства, в к-рых соответствующая группа преобразований действует только локально, в бесконечно малой окрестности; таковы римановы пространства и пространства с различной связностью. Групповой подход с точки зрения непрерывных групп преобразований был предложен С. Ли (S. Lie).

Параллельно в конце 19 в. развивался логич. анализ основ Г. Выяснение непротиворечивости, минимальности и полноты систем аксиом Г. суммировано Д. Гильбертом (D. Hilbert) в книге "Основания геометрии" (1899) (см. Основания геометрии).