Математическая энциклопедия - геодезии математические задачи

задачи, связанные с определением гравитационного поля и фигуры Земли в единой системе координат. Используют декартову прямоугольную систему а также криволинейные ортогональные координаты В, L, H (см. [3]) или связанные с сжатым эллипсоидом вращения (из-за близости фигуры Земли к такому эллипсоиду). При этом

где большая и малая полуоси эллипсоида, 2с его фокусное расстояние

Фигуру Земли и ее поле определяют по измерениям геометрич. характера (расстояний между точками, углов между направлениями), измерениям силы тяжести, локации Луны, наблюдениям искусственных спутников Земли и внегалактических радиоисточников. При развитии наземной сети геодезич. измерений необходимо определять элементы ориентировки местных систем координат.

В выводах с внеземными данными большое значение приобретают геодезич. построения без отвеса (см. [1]). Эти построения основаны на синхронном фотографировании с нескольких пунктов подвижной цели на фоне звезд. Если известны координаты части пунктов и известны склонения и прямые восхождения звезд, сфотографированных вместе с целью, то возможно вывести координаты как сфотографированных целей, так и неизвестные координаты пунктов.

В наземном варианте, из-за искажений углов в вертикальных плоскостях влиянием атмосферной рефракции для вывода высот Нточек земной поверхности, разработаны методы, связанные с использованием силы тяжести. Этими же методами определяют земное гравитационное попе. Современная теория использования силы тяжести в геодезии принадлежит М. С. Молоденскому (см. [2]). Эта теория основана на решении краевой задачи с косой производной для уравнения Лапласа. Отсчетным может служить поле потенциала Uпритяжения

близкого к земному. Здесь гравитационная постоянная, т - масса, близкая к массе Земли, угловая скорость ее вращения, функции Ле-жандра соответственно 1-го и 2-го рода. Потенциал силы тяжести выражается через его значение в начале счета высот (уровня моря) и приращение, выводимое из геометрич. нивелирования и измерений силы тяжести вдоль .его линии:

где элементарное нивелирное превышение. По приращению потенциала определяют приближенную координату , полагая, что нивелирование выполнено в поле потенциала силы тяжести эллипсоида, уровенного относительно этого потенциала. Для уточнения координаты (вывода высоты Н).и определения внешнего земного гравитационного поля достаточно найти потенциал Т, наз. возмущающим:

Здесь потенциал центробежной силы, возникающий из-за вращения Земли. Краевое условие на земной поверхности для вывода потенциала получают, используя связь и вычисляя в точке с координатой . На бесконечности потенциал Тудовлетворяет условию .

Решение задачи сводится к выводу плотности простого слоя также на земной поверхности, связанного с потенциалом Тнек-рой зависимостью. Из этой зависимости и краевого условия выводится сингулярное интегральное уравнение 2-го рода. На это уравнение при определенных условиях распространяется альтернатива Фредгольма. Краевые условия допускают единственное решение при эллипсоидальном отсчетном поле. Если же отсчетное поле вырождается в сферическое, решением задачи становится произвольная сферич. функция 1-й степени. Из-за неизбежных ошибок измерений вводят дополнительные условия о совмещении центра инерции Земли и центра отсчетного эллипсоида, о параллельности полярной главной центральной оси инерции Земли и малой оси отсчетного эллипсоида.

Центр инерции Земли может не лежать на ее оси вращения. В частности, так будет, если из гравитационного поля Земли для уменьшения ошибок интерполяции силы тяжести выделено влияние топографич. масс. В горных районах, из-за сложности земной поверхности, численное решение представляет большие практич. затруднения.