Математическая энциклопедия - геометрические вероятности

вероятности событий, связанных со взаимным расположением геометрии, фигур, случайно размещенных на плоскости или в пространстве. Простейший пример: в область Ана плоскости наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что она попадет в область В, лежащую внутри А? Принимая, что искомая вероятность зависит лишь от "формы" области, но не от ее "положения" внутри А, приходят к выводу, что она единственным образом определяется как отношение площади Вк площади А.

Сделанное допущение об инвариантности рассматриваемых вероятностей относительно группы преобразований евклидова пространства, включающей сдвиги, вращения и отражения, типично для большинства задач о Г. в. Ответ обычно получается в форме отношения инвариантной меры множества "благоприятных случаев" к инвариантной мере множества "всех возможных случаев" (см. Интегральная геометрия);аналогия с классич. определением вероятности здесь очевидна. Можно отметить, что в связанном с Г. в. Бертрана парадоксе только один ответ удовлетворяет условию инвариантности.

Первым примером подсчета Г. в. была Вюффона задача, положившая начало идее случайности в геометрии. 200-летняя история развития этой идеи слагается из периодов энтузиазма и интенсивной разработки, сменяемых периодами недооценки и падения интереса к предмету. Наблюдающийся во 2-й пол. 20 в. подъем в этой области привел к значительному расширению круга рассматриваемых моделей (напр., к изучению случайных множеств, полей прямых, т. н. полей волокон и т. п.), и теория Г. в. стала частью нового раздела теории вероятностей стохастической геометрии.

Лит.:[1] Кендалл М., Моран П., Геометрические вероятности, пер. с англ., М.. 1972; [2] Stochastic Geometry, ed. Е. Е. Harding, D. G. Kendall, L., 1974. Ю. В. Прохоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985