Математическая энциклопедия - геодезический поток

поток , фазовым пространством к-рого служит многообразие касательных векторов к римднову (более общо, к финслерову) многообразию (так наз. конфигурационному многообразию потока), а движение определяется следующим образом. Пусть касательный вектор к в точке и длина его . Пусть через проведена геодезич. линия на в направлении и есть точка на , отстоящая от (по ) на расстоянии (считая положительным то направление на , к-рое в точке совпадает с направлением вектора ). Тогда

Если же |v|=0, то Stv=v. При этом оказывается, что поэтому векторы единичной длины образуют в инвариантное относительно подмногообразие ; часто под Г. п. понимают ограничение потока на . В локальных координатах Г. п. описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, имеющей в римановом случае вид

где есть i-я координата точки ,а суть Кристоффеля символы2-го рода. Г. п. сохраняет естественную симплектическую структуру на , а его ограничение на соответствующую контактную структуру. Г. п. играют очевидную роль в геометрии (см. также Вариационное исчисление в целом);кроме того, к ним после нек-рой замены времени можно свести описание движения ряда механич. систем согласно Мопертюи принципу. Д. В, Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985