Математическая энциклопедия - подмногообразие

1) В узком смысле слова топологическое n-мерное П. топологического m-мерного многообразия М - такое подмножество , к-рое в индуцированной топологии является n-мерным многообразием. Число m nназ. коразмерностью подмногообразия N. Наиболее часто встречаются локально плоские П., для к-рых тождественное вложение является локально плоским вложением. Подмножество является локально плоским П., если для каждой точки имеются такая окрестность Uэтой точки в Ми такие локальные координаты x1,. . ., xm в ней, что в терминах этих координат описывается уравнениями xn+1^=...=xm=0.

2) В широком смысле слова топологическое n-мерное П. топологического m-мерного многообразия М - такое n-мерное многообразие N, к-рое как множество точек является подмножеством М(иными словами, N - это подмножество М, снабженное структурой п- мерного многообразия) и для. к-рого тождественное вложение является погружением. П. в узком смысле является П. в широком смысле, а последнее является П. в узком смысле тогда и только тогда, когда iесть вложение в топологич. смысле (т. е. у каждой точки имеется сколь угодно малые окрестности в N, являющиеся пересечениями с N нек-рых окрестностей в М).

3) Кусочно линейное, аналитическое или дифференцируемое (класса ) П. кусочно линейного, аналитического или дифференцируемого (класса ) многообразия Мв широком смысле (соответственно узком) это подмножество , к-рое снабжено структурой кусочно линейного, аналитического или дифференцируемого (класса С ^l).многообразия, причем iявляется кусочно линейным, аналитическим или дифференцируемым (класса С ^l).погружением (соответственно вложением). Определение дифференцируемого П. класса С ^l годится и при l=0, совпадая в этом случае с определением топологического П. Обычно подразумевается, что .

В аналитическом и дифференцируемом случаях П. всегда является локально плоским. Поэтому определение аналитического (дифференцируемого) П. в узком смысле обычно с самого начала формулируется как аналитический (дифференцируемый) вариант данного в 1) определении локально плоского П. с помощью локальных координат, добавляя к сказанному там условию, чтобы локальные координаты x1, . . ., х т были аналитическими (дифференцируемыми класса С ^l). Если подмножество Nудовлетворяет последнему определению, то оно естественным образом снабжается структурой аналитического (дифференцируемого класса С ^l).многообразия и iоказывается вложением в смысле соответствующей структуры.

Кусочно линейное П. в узком смысле локально представляется как подполиэдр объемлющего многообразия, кусочно линейно эквивалентный симплексу. Оно не всегда является локально плоским (хотя это так при т n>2); кроме того, для таких П. свойство быть локально плоским в топологич. смысле не совпадает (по крайней мере непосредственно) со свойством быть локально плоским в кусочно линейном смысле.

4) Простой модификацией этих определений получаются определения: П. с краем; П. многообразия с краем (при этом в ряде топологич. вопросов оказывается целесообразным ограничить возможные расположения П. у края объемлющего многообразия, см. [1]); П., различные компоненты к-рого могут иметь различную размерность; П. бесконечномерного многообразия [2]; комплексно аналитического П. комплексно аналитического многообразия.

Понятие П. в узком смысле является непосредственным обобщением понятия кривой и поверхности. П. в широком смысле используются в теории групп Ли (где это понятие и было впервые введено [3]), дифференциальной геометрии [4] и теории слоений.

5) В алгебраической геометрии П.замкнутое подмножество алгебраич. многообразия в Зариского топологии. Этим формализуется идея, что П. задается алгебраич. уравнениями. Помимо перехода от R к другим полям, изменение понятия П. в этом случае состоит в том, что допускаются П. с особенностями.

Лит.:[1] Рохлин В. А., Фукс Д. Б., Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977; [2] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; [3] Шевалле К., Теория групп Ли, пер. с англ., т. 1, М., 1948; [4] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970. Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985