Математическая энциклопедия - подвижных сеток метод

метод численного решения задач математич. физики, где разностная сетка, на к-рой осуществляется аппроксимация уравнений основной задачи, не остается фиксированной; она прослеживает в процессе расчета изменение границ счетных областей. Простейшая разностная сетка, получаемая точками пересечения прямых, параллельных осям декартовой системы координат (прямоугольная сетка), позволяет максимально упростить разностные уравнения, описывающие основную задачу. Однако адекватное представление на ней границ сложной формы и задаваемых на них граничных условий связано со значительными трудностями, зачастую непреодолимыми при ограниченных ресурсах ЭВМ. Эти трудности особенно возрастают при решении нестационарных задач математич. физики, когда границы расчетных областей подвижны и претерпевают значительную деформацию. Построение системы координат с координатными линиями, совпадающими с границами, становится существенной частью алгоритма решения таких задач.

При применении П. с. м. в каждый фиксированный, момент времени счетная область разрезается на конечное число ячеек сетки, не налегающих друг на друга и заполняющих всю область без зазоров. В случае двух пространственных переменных с точки зрения практич. реализации наиболее удобно счетную область двумя семействами линий разрезать на четырехугольные ячейки. Тогда становится простой нумерация ячеек (аналогичная нумерации элементов матрицы по строкам и столбцам).

Расчет координат узлов такой сетки можно трактов вать как разностный аналог задачи об отыскании функций z(x, h), у(x, h]), обеспечивающих однолистное отображение на область физич. плоскости (x, y), в к-рой проводится расчет, нек-рой параметрич. области на плоскости (x, h), напр, единичного квадрата , . Граничные значения этих функций устанавливают нек-рое взаимно однозначное соответствие между точками на сторонах параметрич. квадрата и на границах физич. области. Это соответствие целесообразно оставлять в распоряжении вычислителя, к-рый расставляет узлы сетки на границе счетной области, исходя из конкретного содержания задачи и имеющихся ресурсов.

Для областей несложной формы координаты узлов сетки можно вычислять но явным формулам, основанным на использовании интерполяции или конкретного вида отображения. В случае сложных областей приходится прибегать к итерационному процессу, в ходе к-рого положение узла сетки на каждой итерации пересчитывается в зависимости от положения его соседей. Такие итерационные процессы, как правило, моделируют решение нек-рой системы дифференциальных уравнений с частными производными. При их конструировании зачастую в той или иной форме привлекаются конформные и квазиконформные отображения.

Структура решения задач математич. физики (напр., задач газовой динамики) может характеризоваться наличием зон, в к-рых происходит резкое изменение параметров потока. Размеры таких зон могут быть существенно меньше характерного линейного размера задачи, а их местонахождение заранее неизвестно и, кроме того, может меняться в процессе расчета. В связи с этим разрабатываются алгоритмы, к-рые позволяли бы использовать в расчетах сетки, сгущающиеся в таких зонах.

С целью создания надежных вычислительных алгоритмов задача построения сетки зачастую формулируется как задача минимизации нек-рого вариационного функционала. Функционал может содержать управляющие параметры, изменение к-рых обеспечивает определенную свободу и возможность приспосабливать рассчитываемую сетку к особенностям конкретной задачи.

Лит.:[1] Численное решение многомерных задач газовой динамики, М., 1976; [2] Сидоров А. Ф., "Численные методы механики сплошной среды", 1977, т. 8, № 4, с. 149-56; [Я] Мещеряков Ю. П., Шапеев В. П., там же, 1978, т. 9, М 2, с. 91 103; [4] Данаев Н. Т., там же, 1979, т. 10, № 4, с. 60-74; [5] Томас П. Д., Миддлкофф Д. Ф., "Ракетная техника и космонавтика", 1980, т. 18, № 7, с. 55-61.

Г. П. Прокопов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985