Математическая энциклопедия - подвижного репера метод

дифференциально-геометрический метод локального исследования подмногообразий различных однородных пространств, исходным моментом к-poro является отнесение самого подмногообразия и всех его геометрич. объектов к возможно более общему (подвижному) реперу. П. р. м. включает в себя последующий процесс канонизации репера инвариантного присоединения к каждой точке подмногообразия единственного репера с целью получения дифференциальных инвариантов, характеризующих подмногообразие с точностью до преобразований вмещающего его однородного пространства.

В наиболее общей форме П. р. м. был предложен Г). Картаном (Е. Cartan, см. |1]), давшим разнообразные образцы его применений. Позднее метод получил широкое распространение и развитие (см. Продолжений и охватов метод). Аналитич. основу П. р. м. составляют инвариантные линейные дифференциальные формы группы Ли и их структурные уравнения, а также теория представлений групп Ли как групп преобразований. В современной геометрии основные положения П. р. м. потребовали уточнений и получили оформление в терминах теории расслоенных пространств.

Пусть Х п есть n-мерное однородное пространство и Gесть r-мерная группа Ли его преобразований (Gдействует слева). Пусть Xn=G/H - представление, где группа изотропии (стационарности) нек-рой точки , k=1, 2, . . ., п,a=n+1, . . ., r,- базис левоинвариантных векторных полей на Gтакой, что на Н еa составляют также базис левоинвариантных векторных полей подгруппы Ли H. Базису ( е k, еa).отвечает сопряженный базис левоинвариантных линейных дифференциальных форм (q^k, q^a) на группе Ли G. Канонич. проекция , сопоставляющая точкам левые классы смежности группы G по подгруппе Н=Н x0 , вносит в группу Ли Gструктуру главного H-расслоения с базой Х п и структурной группой Нразмерности r-п. При таком представлении Gвекторные поля е a составляют базис фундаментальных векторных полей расслоения , а векторные ноля ek натягивают некрое трансверсальное к слоям расслоения n-распределение. В соответствии с этим линейные дифференциальные формы q^k являются полубазовыми формами расслоения и образуют вполне интегрируемую подсистему форм в системе (q^k, q^a). Слои являются интегральными многообразиями максимальной размерности для системы уравнений Пфаффа q^k=0.

Системой реперов в классической дифференциальной геометрии (евклидовой, аффинной, проективной и т. д.) наз. множество фигур пространства Х п, находящееся в биективном соответствии с множеством преобразований пространства Х n (или, что то же самое, с множеством элементов фундаментальной группы Gданного пространства), при этом любой репер Rиз данной системы можно получить из нек-рого начального R0 с помощью только одного преобразования:

Учитывая, что главная роль подвижного репера Lg(R0)=Rg. по отношению к неподвижному R0 состоит в том, чтобы определять произвольное преобразование Lg однородного пространства Х п, можно отождествить множество реперов {Rg} с множеством элементов группового пространства G, приобретающих таким образом смысл абстрактных реперов, обслуживающих любое однородное пространство с данной фундаментальной группой G.

Пусть задано нек-рое гладкое подмногообразие размерности т. Реперами нулевого порядка подмногообразия Мназ. элементы ограничения расслоения на М, как на новую базу. Это значит, что главное расслоение вложено в G и определяется в нем как полный прообраз . Так как ле-воинвариантные формы q^k, q^a на группе Ли G подчиняются уравнениям Маурера Картава

(1)

где структурные константы группы Ли, то ограничение форм q^k, q^a на подрас-слоение G(p, М), т. е. формы w^k, w^a, будет подчиняться таким же уравнениям, но, сверх того, среди форм w^k возникнут линейные зависимости

(2)

где w^a формы, оставшиеся вместе с w^a линейно независимыми на главном расслоенном пространстве , а функции, также определенные на расслоении реперов нулевого порядка Функции являются координатами касательной плоскости подмногообразия , зависящими от точки и репера

Касательные плоскости образуют сечение грассманова расслоения

m-плоскостей, проходящих через точки подмногообразия . Расслоение является присоединенным к главному расслоению Структура функций характеризуется уравнениями

(3)