Математическая энциклопедия - подстановок группа

совокупность подстановок на нек-ром множестве X, образующих группу относительно операции умножения подстановок. Иначе, П. г.это пара (G, X), где G группа, X - множество и каждому соответствует подстановка множества Xтакая, что 1) , , и 2) х ^a=х для любого тогда и только тогда, когда a=e единица группы G. Если выполняется лишь условие 1), то говорят о действии (или представлении) группы G на множестве X. В этом случае подмножество Нэлементов группы G, оставляющих на месте все , будет нормальным делителем в G(называемым ядром действия) и факторгруппа G/H действует на Xуже как 11. г. Если X - конечное множество, то П. г. (G, X).наз. конечной, в противном случае бесконечной. Множество всех подстановок на Xназ. симметрич. группой и обозначается S(X). или Sn, если Х={1, 2, . . ., n}.

Подобием (или изоморфизмом) П. г. (G, X).на П. г. (G', X').наз. пара (j, y) отображений, где j изоморфизм G на G', а y биекция Xна X', причем оба отображения согласованы в том смысле, что для всех и имеет место равенство . П. г., между к-рыми существует подобие, наз. подобными. Если (G, X).П. г., то на множестве Xестественно определена эквивалентность: для нек-рого ; классы эквивалентности П. г. наз. орбитами, или областями транзитивности, группы (G, X). П. г. транзитивна, если она имеет лишь одну орбиту, в противном случае она интранзитивна (см. Транзитивная группа).

Произвольная абстрактная группа Gможет быть представлена как П. г. на подходящем множестве X(теорема Кэли). При этом в качестве Xможно выбрать множество всех элементов группы Gи сопоставить каждому отображение, получающееся в результате умножения справа на элемент g : x^g =xg. Полученное таким образом регулярное представление группы Gв виде П. г. не является единственно возможным. При исследовании П. г. интересуются другими свойствами, чем при изучении абстрактных групп. Речь идет не только о строении группы, а в первую очередь о том, как группа действует на множестве X;так, напр., свойство транзитивности есть свойство П. г., а не абстрактных групп.

Пусть (G, X).П. г., а Мподмножество в X. Совокупность всех подстановок , переводящих Мв себя (то есть ), образует подгруппу GM, называемую стабилизатором множества М. Множество тех подстановок, к-рые оставляют все на месте, наз. фиксатором множества Ми обозначается G{M} Фиксатор будет нормальным делителем стабилизатора. Если М={a} - одноэлементное множество, то понятия стабилизатора и фиксатора совпадают (он обозначается Ga). Группа наз. полурегулярной (или действующей свободно), если стабилизатор каждой точки является единичной группой и регулярной (или просто транзитивной), если группа, кроме того, транзитивна. Централизатором группы Gназ. ее централизатор в симметрич. группе S(X) - это совокупность подстановок на X, поэлементно перестановочных со всеми элементами из G. Централизатор транзитивной группы полурегулярен, и наоборот, централизатор полурегулярной группы транзитивен. Регулярная П. г. (G, X).подобна вышеприведенному регулярному представлению группы G. Централизатором регулярного представления будет т. н. левое регулярное представление группы G, сопоставляющее элементу подстановку

Существуют операции (см. [6]), позволяющие из заданных П. г. строить новые.

а) Сумма П. г. Пусть (G, X).и (H, Y) - две П. г., причем пересечение пусто. Сумма (G, X)+(H, Y).определяется как П. г. прямого произведения G Х H на объединении , причем для

б) Произведением (G, Х).Х( Н, Y).П. г. (G, X).и (H, Y) наз. группа (GХ H, XX Y), действующая на XX Yсогласно формуле

Обо операции ассоциативны и могут быть определены для произвольного числа групп.

в) Сплетение. Пусть (С, X).и (H, Y).П. г. и отображение Xв H. На множестве пар [a, b (x)], называемых таблицами, определяется умножение: