Математическая энциклопедия - подгрупп ряд

конечная цепочка вложенных одна в другую подгрупп группы G:

(*) или

Рассматриваются также бесконечные цепочки вложенных подгрупп (убывающие и возрастающие), занумерованные порядковыми числами или даже элементами упорядоченного множества. Их чаще наз, подгрупп системами.

Важную роль в теории групп играют субнормальные, нормальные и центральные ряды. П. р. (*) наз. субнормальным, если каждый его предыдущий член есть нормальная подгруппа следующего члена. Если, кроме того, каждая подгруппа Gi, i=0, 1, . . ., n, нормальна в G, то ряд (*) наз. нормальным рядом в G. Существует и иная терминология, в к-рой нормальным рядом наз. то, что здесь названо субнормальным, а для второго определенного здесь понятия используется термин "инвариантный ряд" (преобладает, однако, первая терминология). Факторгруппы Gi+1/Gi наз. факторами, а число n длиной субнормального ряда. Нормальный ряд (*) наз. центральным, если все его факторы центральны, т. е. Gi+1/Giлежит в центре группы G/Gi для всех iили, что равносильно, взаимный коммутант Gi+1 и G лежит в Gi для всех i. Если Gi+1/Gi в точности совпадает с центром группы G/Gi (соответственно коммутант Gi+1 и G совпадает с Gi) для всех i, то ряд (*) наз. верхним центральным рядом (соответственно нижним центральным рядом) группы G.

Пусть в группе G заданы субнормальный (соответственно нормальный или центральный) ряд и нек-рая подгруппа п пусть , i=0, 1, . . ., п. Тогда цепочка

является субнормальным (соответственно нормальным или центральным) рядом в Н, а факторы этого ряда изоморфны подгруппам соответствующих факторов ряда (*). Если G/Nнек-рая факторгруппа группы G, то цепочка

является субнормальным (соответственно нормальным или центральным) рядом в G/N, а факторы этого ряда суть гомоморфные образы соответствующих факторов ряда (*).

Два субнормальных (в частности, нормальных) ряда группы наз. изоморфными, если они имеют одинаковую длину и между их факторами существует взаимно однозначное соответствие, при к-ром соответствующие факторы изоморфны. Если всякая подгруппа одного ряда совпадает с одной иа подгрупп другого, то второй ряд наз. уплотнением первого. Неуплотняемый далее нормальный ряд наз. главным, а субнормальный композиционным. Факторы этих рядов наз. соответственно главными и композиционными факторами. Любые два субнормальных (соответственно нормальных или центральных) ряда группы обладают изоморфными субнормальными (соответственно нормальными или центральными) уплотнениями. В частности, любые два главных (композиционных) ряда изоморфны (см. Жордана Гёльдера теорема).

Лит.:[1] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы теории группы, 3 изд., М., 1982; [2] Черников С. Н., Группы с заданными свойствами системы подгрупп, М., 1980. Я. С. Романовский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985