Математическая энциклопедия - подгрупп система

множество подгрупп группы G, удовлетворяющее условиям: 1) содержит единичную подгруппу 1 и саму группу G, 2) линейно упорядочено по вложению, т. е. для всяких А, В из либо , либо . Говорят, что подгруппы А, А' из составляют скачок, если А' непосредственно следует за Л в . П. с., замкнутая относительно объединений и пересечений, наз. полной. Полная П. с. наз. субнормальной, если для всякого скачка А, А' этой системы Аявляется нормальной подгруппой в А'. Факторгруппы А'/А наз. факторами системы . П. с., все члены к-рой суть нормальные подгруппы группы G, наз. нормальной. В случае, когда одна субнормальная система содержит (в теоретико-множественном смысле) другую, первую из них наз. уплотнением второй. Нормальная П. с. наз. центральной, если все ее факторы центральны, т. е. А'/А содержится в центре G/A для всякого скачка А, А'. Субнормальная П. с. наз. разрешимой, если все ее факторы абелевы.

Наличие в группе тех или иных П. с. выделяет в классе всех групп различные подклассы, наиболее употребительны из к-рых

классы К уроша Черникова:

RN- группа -обладает разрешимой субнормальной П. с.;

группа обладает разрешимой субнормальной П. с., вполне упорядоченной по возрастанию;

группа всякую субнормальную П. с. этой группы можно уплотнить до разрешимой субнормальной;

RI -группа обладает разрешимой нормальной П. с.;

группа обладает разрешимой нормальной П. с., вполне упорядоченной повозрастанию;

группа всякую нормальную П. с. этой группы можно уплотнить до разрешимой нормальной;

Z группа обладает центральной П. с.;

ZAгруппа обладает центральной П. с., вполне упорядоченной по возрастанию;

ZD группа обладает центральной П. с., вполне упорядоченной по убыванию;

-группа всякую нормальную П, с. такой группы можно уплотнить до центральной;

-группа через всякую подгруппу такой группы проходит субнормальная П. с.;

Nгруппа через всякую подгруппу такой группы проходит субнормальная П. с., вполне упорядоченная по возрастанию.

Частный случай П. с. подгрупп ряды.

Лит.:[1] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [2] Черников С. Н., Группы с заданными свойствами системы подгрупп, М., 1980; [3] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, 3 изд., М., 1982.

Н. С. Романовский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985