Математическая энциклопедия - функционал

от марковского процесса случайная величина или случайная функция, зависящая измеримым образом от траектории марковского процесса; условие измеримости варьируется в зависимости от конкретной ситуации. В общей теории марковских процессов принимается следующее определение Ф. Пусть в измеримом пространстве задан необрывающийся однородный марковский процесс с операторами временного сдвига и пусть -наименьшая из -алгебр в пространстве элементарных событий, содержащих любое событие вида где пересечение всех пополнений по всевозможным мерам Случайная функция наз. функционалом от марковского процесса Х, если при каждом величина измерима относительно -алгебры

Особый интерес представляют мультипликативные и аддитивные Ф. от марковских процессов. Первые из них выделяются условием вторые условием причем функцию считают непрерывной справа на (с другой стороны, иногда приходится предполагать эти условия выполняющимися лишь Р х -почти наверное для любых фиксированных Соответствующие формулировки принимаются в случае обрывающихся и неоднородных процессов. Примеры аддитивных Ф. от марковского процесса можно получить, приравняв при или к или к сумме скачков случайной функции f(xs )при где f(х) - ограниченная и измеримая относительно функция (второй и третий примеры корректны лишь при нек-рых дополнительных условиях). Переход от любого аддитивного Ф. к ехр доставляет пример мультипликативного Ф. В случае стандартного марковского процесса интересным и важным примером мультипликативного Ф. служит случайная функция, равная 1 при и 0 при где -момент первого выхода Xиз нек-рого множества

С мультипликативными Ф., подчиненными условию связано одно естественное преобразование марковского процесса -переход к подпроцессу. По переходной функции Р(t, х, В )процесса строят новую

причем может оказаться, что в нек-рых точках Новой переходной функции в соответствует нек-рый марковский процесс к-рый вместе с исходным можно реализовать на одном и том же пространстве элементарных событий с одними и теми же мерами причем так, что при и что -алгебра является следом -алгебры в множестве Процесс наз. подпроцессом марковского процесса X, получаемым в результате лубивания

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985