Математическая энциклопедия - функциональное уравнение

методы решения методы нахождения точных или приближенных решений функциональных конкретных или абстрактных уравнений, т. е. уравнений вида

где Р(х) - нек-рый, вообще говоря, нелинейный оператор, переводящий элементы пространства Xтипа . (или другого типа) в элементы пространства Yтого же типа (см. Функциональное уравнение). Точные решения в виде аналитич. выражений получаются лишь для немногих типов Ф. у., поэтому особое значение имеют приближенные методы решения.

Для нахождения решений общих Ф. у. вида (1) развит ряд методов, напр. метод бесконечных степенных рядов, метод последовательных приближений, метод Галеркина (метод моментов), метод касательных гипербол, метод Чебышева (касательных парабол), метод Ньютона Канторовича и его модификации, метод наискорейшего спуска и др., а также методы вариации параметра (прямые, итерационные и комбинированные) определенных типов и их различные модификации, в том числе и с последовательной аппроксимацией обратного оператора. Общие методы применяются к решению различных конкретных Ф. у. мате-матич. анализа. Кроме того, существуют специальные методы решения конкретных Ф. у., в том числе и численные методы, напр. метод сеток и др. Метод вариации параметра, метод Ньютона Канторовича и нек-рые др. из указанных методов имеют также и тео-ретич. значение, так как с их помощью можно делать заключение о существовании, единственности и области расположения решения Ф. у., не находя самого решения, что подчас не менее важно, чем фактич. знание решения. Ниже в качестве примера рассматривается прямой метод вариации параметра.

Пусть в банаховом пространстве линейных ограниченных операторов задано нелинейное операторное обыкновенное дифференциальное уравнение на бесконечном промежутке

где А , х0, (А, х 0заданные, I тождественный оператор), абстрактная функция со значениями из [X] (X - пространство типа В). К решению уравнения (2) приводится прямым методом вариации параметра задача построения обратного оператора А ^-1 для обратимого оператора А, решение линейного операторного уравнения вида I- Ах=0и др. задачи. Если спектр оператора Аx0 (х 0 А)расположен в правой полуплоскости, то задача (2) имеет единственное решение

Аналитич. применение к задаче Коши (2) методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений приводит к целому классу прямых методов вариации параметра решения операторного уравнения (2), а следовательно, и решения тех задач, к-рые сводятся к задаче (2). Напр., метод Эйлера с неравномерным шагом hk приводит к следующему методу построения оператора А ^-1;

Шаги hk в формуле (3) выбирают различными способами. Когда спектр оператора I- Ах0(I-х0 А)расположен на действительной оси в интервале весьма эффективным является следующий способ выбора шагов hk:

При этом быстрота сходимости метода (3) имеет порядок выше, чем 2^k, норма невязки убывает по закону Случай интервала выгодно сводится к рассмотренному одним шагом метода (3) при

Относительно сходимости метода (3), (4) для конкретных операторных уравнений можно высказать на основании общих фактов те или иные результаты в зависимости от того, какое пространство берется за основу.

К решению задачи (2) сводятся также задача построения проекторов вида

[случай, когда спектр оператора I- Ах0(I х0 А)расположен в интервале и задача построения псевдообратных операторов х ⁺(⁺ х) для оператора A таких, что

Для непосредственного построения проекторов Р( А х0 )(Р(х 0 А)) метод (3), (4) можно переписать в виде

В зависимости от расположения спектра и свойств оператора Ав качестве х 0 выбирают, напр., операторы I, A, А* или др.

К абстрактному линейному функциональному обыкновенному дифференциальному уравнению

где абстрактная функция со значениями в X, сводится прямым методом вариации

параметра задача непосредственного построения псевдорешений у ⁺ линейных Ф. у. вида

или Ф. у. bAy⁺ =0, если Р( Ах0)(b-Ау0)=0. К задаче (5) сводятся также и др. задачи, в том числе задачи для дифференциальных уравнений обыкновенных и с частными производными, интегральные уравнения и др. Формула

дает единственное решение уравнения (5), удовлетворяющее условию y(0) = y0.

Применение к задаче (5), напр., метода Эйлера с шагом hk+1 вперед приводит к следующему методу построения псевдорешений у ⁺ Ф. у. (6):

Шаги hk+1 выбирают, напр., через корни многочленов Чебышева TN(t):

когда х 0 А- самосопряженный оператор с ненулевой частью спектра на отрезке нек-рое упорядочение чисел 1, 2, ..., Nдля устойчивости счета, N - порядок требуемого многочлена. Метод (7), (8) даст оптимальную оценку сходимости только на N-м шаге. При N=2i(или 2ⁱ) весьма эффективным является выбор шагов в (7) последовательно через корни многочленов Чебышева

вместо многочлена TN(t). что существенно упрощает задачу упорядочения шагов hj и повышает эффективность счета, особенно при больших N. В этом случае погрешность оптимально уменьшается после употребления всех упорядоченных корней каждого многочлена, что важно для упрощения контроля счета. В случае, если Р( Ах0)(b-Ay0)=0, то при этом, если Р(х 0A)-ортопроектор, то y⁺-y0 является нормальным решением Ф. у. ( у ⁺ -y0)=b-Ау0. С другой стороны, из (7) вытекает

При этом, если Р( Ах0) - проектор, то

при

Существуют также прямые методы вариации параметра типа метода Эйлера, использующие рекуррентные соотношения для многочленов Чебышева и близких к ним (без явного использования корней этих многочленов), с убыванием погрешности на каждом шаге. Эти методы являются многошаговыми и обладают повышенной быстротой сходимости. Применение к задаче (5) метода Эйлера с шагом hk+1 назад дает следующий эффективный класс методов

откуда

При этом, если Р( Ах 0) - проектор' и /?,->0 такие, что для любого с

то

Существуют аналогичные методы и для решения нелинейных Ф. у. и операторных уравнений, а также методы с повышенной степенью точности типа методов Рунге Кутта s-ro порядка точности и др. типов.

Решения Ф. у. в узком смысле этого слова и систем таких уравнений могут быть как конкретными функциями, так и классами функций, зависящих от произвольных параметров или произвольных функций. В теории Ф. у. известно мало общих методов решения таких уравнений. Поэтому в каждом частном случае необходимо, как правило, исследовать степень общности полученного решения.

Одним из более или менее общих методов решения Ф. у. является метод сведения их к решению уравнений в конечных разностях. Пусть, напр., имеется Ф. у. n-го порядка и 1-го класса вида

где функция Fзадана, функция искомая;

При этом полагают Здесь переход от хк заменяется введением нового переменного z и изменением z на 1 в функции uz. После такой замены уравнение (9) принимает вид

Решение уравнения (10) в конечных разностях т-го порядка дает выражение для uz через z и ппроизвольных периодич. функций С i от z с периодом, равным единице. Решение Ф. у. (9) в самом общем виде представляется системой двух совместных уравнений

Выбирая в качестве С i их частные значения, можно из (11) исключить z и получить таким образом частное решение уравнения (9). Напр., для Ф. у. 2-го порядка

общее решение (11) принимает вид

где и корни квадратного уравнения C1 и С 2 - произвольные постоянные периодич. функции с периодом, равным единице. Если для С 1 и С 2 дать значение произвольных постоянных и исключить z из (13), то получается полное решение Ф. У. (12):

Метод сведения к уравнениям в конечных разностях применяется также и при решении прямых задач функционального исчисления. Пусть, напр., задана функция и пусть требуется построить выражение При этом полагают и записывают уравнение в конечных разностях un+1=а+bun, решением к-рого является и n=Сb ^п+а/(1-b). Отсюда при n=0 получают и 0=x=C+a/(1-b). т. e. С = ха/(1-b).Таким образом,

Здесь же при желании можно записать и Ф. у. вида решением к-рого при любом пявляется и др. Решая это Ф. у. тем же методом, можно построить и др. значения В частности, для нечетных n получается еще одно действительное решение

Для решения Ф. у. применяется также метод подстановок. Пусть, напр., имеется Ф. у.

Применяя последовательно подстановки

из (14) получают соответственно уравнения

и

где обозначено f(0)=а, Отсюда путем вычитания из суммы первых двух уравнений третьего уравнения получают 2f(t)=2аcost+2b sin t. Общим решением исходного Ф. у. (14) является функция f(x)=acosx+bsinx. Этот метод применим также и к др. уравнениям типа

H[f(z + y), f( х у), f(x), х, у] = 0

при нек-рых предположениях относительно функции Н. К уравнениям других типов применяются различные другие подстановки.

Метод подстановок применяется и для сведения одних Ф. у. к другим уравнениям того же типа, в частности к Ф. у. с известными решениями. Напр., Ф. у.

может быть приведено к Ф. у. Коши

с непрерывным решением f(x)=Cx. С этой целью подставляют в (15) х+у вместо хи0 вместо у: f((x + y)/2) = f(x + y)/2 + а/2, a = f(0).

Сравнивая это с исходным Ф. у. (15), получают Ф. у. вида f(x+y)=f(x)+f(y)-a, откуда Решением является функция f(x)=Cx+a.

Для сведения к другим Ф. у. того же типа применяют также логарифмирование и др. приемы. Напр., решение Ф. у.

путем логарифмирования можно свести к решению Ф. у. (16). Непрерывная функция f(x), удовлетворяющая Ф. у. (17), всегда строго положительна, а функция непрерывна (как результат суперпозиции непрерывных функций) и удовлетворяет условию Решением является функция

Во многих случаях для решения Ф. у. применяется также метод сведения их к дифференциальным уравнениям. Напр., Ф. у. (14) можно свести к уравнению вида f"(x) = -f(x). К этому уравнению сводятся и другие Ф. у. Этот метод дает лишь решения, принадлежащие классу дифференцируемых функций. Решение, напр., Ф. у. Коши (16) при условии дифференцируемости функции f(x)можно найти следующим образом. Дифференцируя (16) по х, получают f(x+y)=f '(x), и так как уздесь произвольное, то f ' (х)=С. Тогда интегрирование дает f(х)=Сх+С1. где С 1 - новая постоянная. Подставляя найденное выражение для f(х)снова в Ф. у. (16), устанавливают, что при всех значениях хи у должно быть С1=0. Решением является функция f(x)=Cx.

Для решения Ф. у. в ряде случаев применяют также и метод итераций.

Лит.:[1] Канторович Л. В., лТр. Матем. ин-та АН СССР

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985