Математическая энциклопедия - фундаментальная группа

группа Пуанкаре,первая абсолютная гомотопическая группа Пусть / отрезок [0, 1], его граница. Элементами Ф. г. пунктированного топологич. пространства (X, х0 )служат гомотопич. классы замкнутых путей в X, т. е. классы гомотопных rel {0, 1} непрерывных отображений пары в (X, x0). Путь s1s2

наз. произведением путей s1 и s2. Гомотопич. класс произведения зависит только от классов сомножителей, возникающая операция, вообще говоря, некоммутативна. Единицей служит класс постоянного отображения в x0, обратным к классу содержащему путь служит класс пути Непрерывному отображению соответствует гомоморфизм

т. е. является функтором на категории топологич. пространств в категорию (неабелевых) групп. Для любого пути соединяющего точки x1 и х 2. определен изоморфизм

зависящий только от гомотопич. класса пути Группа действует автоморфизмами на в случае п -1 элемент действует как внутренний автоморфизм Гомоморфизм Гуревича является эпиморфизмом с ядром (теорема Пуанкаре).

Линейно связное топологич. пространство с нулевой Ф. г. наз. односвязным. Ф. г. произведения пространств изоморфна прямому произведению Ф. г. сомножителей: Пусть ( Х, х 0 )-линейно связное топологич. пространство, покрытие Xзамкнутой относительно пересечений системой открытых множеств таких, что тогда -прямой предел диаграммы где а индуцировано включением (теорема Зейферта Ван Кампена). Напр., если дано покрытие, состоящее из U0, U1, U2. и односвязно, то есть свободное произведение групп и В случае клеточного пространства утверждение теоремы справедливо также для замкнутых клеточных подпространств в X.

Для клеточного пространства X, нульмерный остов к-рого состоит из единственной точки х 0,каждая одномерная клетка задает образующую Ф. г. каждая двумерная клетка задает соотношение, отвечающее приклеивающему отображению клетки

Пусть Xобладает покрытием таким, что гомоморфизм включения нулевой для любой точки z. Тогда существует накрытие с В этом случае группа коммутирующих с ргомеоморфизмов пространства на себя (скольжений) изоморфна порядок группы равен мощности слоя р ^-1 х 0. Для отображения линейно связных пространств такого, что существует поднятие Накрытие наз. универсальным.

Лит.:[1] Масси У., Столлингс Дж., Алгебраическая топология, пер. о англ., М., 1977; [2] Рохлин В. А., Фукс Д. Б., Начальный курс топологии, М., 1977; [3] Спеньер 9., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971.

А. В. Хохлов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985